Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[rrr -9 & 5 & 6 2 & 3 & 1 -1 & 1 & -3 ][l x1 x2 x3 ]=[r 11 4 -2 ]
Caso possível, determine a matriz inversa da matriz A do sistema dado, usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial.

Passo 1

Beleza, exercício diz: “Temos o sistema
A,x = b, A = -9&5&62&3&1-1&1&-3, b = 114-2,
e pede pra achar usando eliminação de Gauss com pivotamento parcial.”
Então o conteúdo aqui é “inversão de matrizes por Gauss” e o que vamos precisar é:
  1. montar a matriz aumentada ;
  2. em cada coluna escolher o pivot de maior valor absoluto (pivotamento parcial);
  3. zerar abaixo e acima desses pivots;
  4. escalar para chegar em .

Passo 2

Montamos [rrr|rrr -9 & 5 & 6 & 1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 ] :
Na coluna 1, os valores em módulo são —o maior é 9, já na linha 1. Então não trocamos linhas. Nosso pivot inicial é .

Passo 3

Agora zeramos L2 L2 - m21,L1 ;Longrightarrow; L2 L2 + tfrac29L1 e L3 L3 - m31,L1 ;Longrightarrow; L3 L3 - tfrac19L1 .
Para a linha 2: [rrr|rrr -9 & 5 & 6 & 1 & 0 & 0 0 & tfrac379 & tfrac73 & tfrac29 & 1 & 0 0 & tfrac49 & -tfrac113 & -tfrac19 & 0 & 1 ] . Fazemos
Para a linha 3: . Fazemos
O resultado é

Passo 4

Coluna 2: entre as linhas 2 e 3, olhamos L2 937,L2 ;Longrightarrow; l[0;1;tfrac2137midtfrac237;tfrac937;0r] e L1!!L1 -5,L2 . O maior está em L3!!L3 -tfrac49,L2 , sem troca. Pivot é [rrr|rrr -9 & 0 & tfrac11737 & tfrac2737 & -tfrac4537 & 0 0 & 1 & tfrac2137 & tfrac237 & tfrac937 & 0 0 & 0 & -tfrac14537 & -tfrac537 & -tfrac437 & 1 ] .
Primeiro, deixamos ele 1 dividindo por (ou multiplicando por ):
Depois zeramos acima e abaixo:
  • Em , coeficiente em col 2 é 5, então
  • Em , coeficiente em col 2 é , então
O novo patamar é

Passo 5

Coluna 3: só resta a linha 3 com valor L3 = l[0;0;1midtfrac5145,;tfrac4145,;-tfrac37145r] . Pivotamos por ela mesmo, não troca.
  1. Escalamos A^-1 =15365, -370 & 777 & -481 185 & 1221 & 777 185 & 148 & -1369 para tornar o pivot =1: multiplicamos por , virando
  1. Zeramos col 3 em e :
  • .
  • .
    Depois disso, esquerda vira identidade, e a parte direita é .
  1. Por fim, escalamos (que tem no início) multiplicando por , deixando 1 no lugar.
Passando tudo a uma forma unificada, a gente encontra

Resposta

boxed% A^-1 =15365 -370 & 777 & -481 185 & 1221 & 777 185 & 148 & -1369

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