Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Caso possível, determine a matriz inversa da matriz A do sistema dado, usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
Passo 1
Beleza, exercício diz: “Temos o sistema
e pede pra achar
usando eliminação de Gauss com pivotamento parcial.”
Então o conteúdo aqui é “inversão de matrizes por Gauss” e o que vamos precisar é:
Então o conteúdo aqui é “inversão de matrizes por Gauss” e o que vamos precisar é:
- montar a matriz aumentada
; - em cada coluna escolher o pivot de maior valor absoluto (pivotamento parcial);
- zerar abaixo e acima desses pivots;
- escalar para chegar em
.
Passo 2
Montamos
[rrr|rrr -9 & 5 & 6 & 1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 -1 & 1 & -3 & 0 & 0 & 1 ] :
Na coluna 1, os valores em módulo são
—o maior é 9, já na linha 1. Então não trocamos linhas. Nosso pivot inicial é
.
Passo 3
Agora zeramos
L2 L2 - m21,L1 ;Longrightarrow; L2 L2 + tfrac29L1 e
L3 L3 - m31,L1 ;Longrightarrow; L3 L3 - tfrac19L1 .
Para a linha 2: [rrr|rrr -9 & 5 & 6 & 1 & 0 & 0 0 & tfrac379 & tfrac73 & tfrac29 & 1 & 0 0 & tfrac49 & -tfrac113 & -tfrac19 & 0 & 1 ] . Fazemos
Para a linha 2:
Para a linha 3:
. Fazemos
O resultado é
Passo 4
Coluna 2: entre as linhas 2 e 3, olhamos
L2 937,L2 ;Longrightarrow; l[0;1;tfrac2137midtfrac237;tfrac937;0r] e
L1!!L1 -5,L2 . O maior está em
L3!!L3 -tfrac49,L2 , sem troca. Pivot é
[rrr|rrr -9 & 0 & tfrac11737 & tfrac2737 & -tfrac4537 & 0 0 & 1 & tfrac2137 & tfrac237 & tfrac937 & 0 0 & 0 & -tfrac14537 & -tfrac537 & -tfrac437 & 1 ] .
Primeiro, deixamos ele 1 dividindo por
(ou multiplicando por
):
Primeiro, deixamos ele 1 dividindo
Depois zeramos acima e abaixo:
- Em
, coeficiente em col 2 é 5, então - Em
, coeficiente em col 2 é , então
O novo patamar é
Passo 5
Coluna 3: só resta a linha 3 com valor
L3 = l[0;0;1midtfrac5145,;tfrac4145,;-tfrac37145r] . Pivotamos por ela mesmo, não troca.
- Escalamos
para tornar o pivot =1: multiplicamos porA^-1 =15365, -370 & 777 & -481 185 & 1221 & 777 185 & 148 & -1369 , virando
- Zeramos col 3 em
e :
-
. -
.
Depois disso, esquerda vira identidade, e a parte direita é .
- Por fim, escalamos
(que tem no início) multiplicando por , deixando 1 no lugar.
Passando tudo a uma forma unificada, a gente encontra