Resolva o sistema linear abaixo, com método de Gauss-Jacobi e o método de Gauss-Seidel, com aproximação inicial x0 ^(0)=[0,0,0]^top e critério de parada, Dr <= 10^-2: ( 5 pontos, 3 pontos Jacobi e 2 pontos Seidel).

Passo 1

Beleza, olha só o que temos: um sistema de 3 equações lineares
5x1 + x2 - x3 = 4, x1 + 4x2 + x3 = 5, 2x1 - x2 + 6x3 = 7
e a gente vai resolver com dois métodos iterativos – Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel – usando o chute inicial
x^(0) = [0,0,0]^top
e parando quando
Dr = maxi |,xi^(k+1) - xi^(k)|maxi |,xi^(k+1)| <= 10^-2
O conteúdo aqui é “métodos iterativos para sistemas lineares”, e o que precisamos é:
  1. isolar cada variável em cada equação pra montar a fórmula de iteração;
  2. aplicar a regra de parada acima;
  3. calcular até convergir.

Passo 2

Teoria rápida: no Jacobi a gente usa só valores da iteração anterior pra calcular a próxima.
Isolando em cada equação:
x1^(k+1) &= 4 - x2^(k) + x3^(k)5, x2^(k+1) &= 5 - x1^(k) - x3^(k)4, x3^(k+1) &= 7 - 2x1^(k) + x2^(k)6
Agora a gente itera:
k = 0 → 1
x^(1) = l[0.8,;1.25,;1.1667r]^top, Dr^(1) = max0.8,1.25,1.1667max0.8,1.25,1.1667 = 1
k = 1 → 2
x^(2) approx [0.7833,;0.7583,;1.1083]^top, Dr^(2) approx 0.4437
k = 2 → 3
x^(3) approx [0.8700,;0.7771,;1.0319]^top, Dr^(3) approx 0.0840
k = 3 → 4
x^(4) approx [0.8510,;0.7745,;1.0062]^top, Dr^(4) approx 0.0256
k = 4 → 5
x^(5) approx [0.8463,;0.7857,;1.0121]^top, Dr^(5) approx 0.0111
k = 5 → 6
x^(6) approx [0.8453,;0.7854,;1.0155]^top, Dr^(6) approx 0.00336 <= 10^-2
Pronto, o Jacobi convergiu no passo 6.

Passo 3

Teoria rápida: no Seidel a gente já usa cada valor novo assim que calcula.
Isolando você chega em:
x1^(k+1) &= 4 - x2^(k) + x3^(k)5, x2^(k+1) &= 5 - x1^(k+1) - x3^(k)4, x3^(k+1) &= 7 - 2x1^(k+1) + x2^(k+1)6
Iterando:
k = 0 → 1
x^(1) = [0.8,;1.05,;1.075]^top, Dr^(1) = 1
k = 1 → 2
x^(2) approx [0.805,;0.78,;1.0283]^top, Dr^(2) approx 0.2626
k = 2 → 3
x^(3) approx [0.8497,;0.7805,;1.0135]^top, Dr^(3) approx 0.0441
k = 3 → 4
x^(4) approx [0.8466,;0.7850,;1.0153]^top, Dr^(4) approx 0.0044 <= 10^-2
Convergiu no passo 4.

Resposta

Jacobi (aprox. no passo 6):
boxedx approx [,0.8453,;0.7854,;1.0155,]^top
Gauss-Seidel (aprox. no passo 4):
boxedx approx [,0.8466,;0.7850,;1.0153,]^top

Exercícios relacionados