Considere o seguinte sistema de equações:
3 x+2 y-5 z=b1 ; 7 x-5 y+2 z=b2 ; x-5 y+6 z=b3.
a) Usando o método de Gauss-Jordan encontre as soluções do sistema quando (b1, b2, b3)= (87,-37,-41) e quando (b1, b2, b3)=(-12,21,23).
b) Calcule a matriz inversa A^-1;
c) Usando X=A^-1 B encontre as soluç ões do sistema quando (b1, b2, b3)=(87,-37,-41) e quando (b1, b2, b3)=(-12,21,23).
d) Usando a decomposição LU encontre as soluções do sistema quando (b1, b2, b3)=(87,-37,-41) e quando (b1, b2, b3)=(-12,21,23).

Passo 1

O enunciado descreve o sistema linear
3x + 2y - 5z = b1, 7x - 5y + 2z = b2, x ;-;5y + 6z = b3,
para dois vetores l(b1,b2,b3r)=(87,-37,-41) e (-12,21,23).
Precisamos usar quatro métodos:
  1. Gauss–Jordan direto para cada vetor B.
  2. Cálculo de A^-1.
  3. Solução via X=A^-1B.
  4. Solução via decomposição LU.

Passo 2

Para o primeiro vetor montamos a matriz aumentada e aplicamos Gauss–Jordan até obter
com
Repetindo o processo para chegamos a

Passo 3

Para achar A^-1 formamos l[Amid I3r] e reduzimos por Gauss–Jordan, obtendo
A^-1=110 -20 & 13 & -21 -40 & 23 & -41 -30 & 17 & -29

Passo 4

Usando X=A^-1B fazemos o produto
X^(1)=A^-1B^(1), X^(2)=A^-1B^(2),
e confirmamos rapidamente que
X^(1)=(-136,,-265,,-205)^T, X^(2)=(3,,2,,5)^T

Passo 5

Para decompor A=LU (Doolittle) achamos
L= 1 & 0 & 0 73 & 1 & 0 13 & 1729 & 1 , U= 3 & 2 & -5 0 & -tfrac293 & tfrac413 0 & 0 & -tfrac1029
Para cada B resolvemos Ly=B (substituição direta) e depois Ux=y (substituição regressiva), obtendo exatamente
X^(1)=(-136,,-265,,-205)^T, X^(2)=(3,,2,,5)^T

Resposta

a) Para (b1,b2,b3)=(87,-37,-41) segue
(x,y,z)=(-136,,-265,,-205),
e para (b1,b2,b3)=(-12,21,23) segue
(x,y,z)=(3,,2,,5)
b)
A^-1=110 -20 & 13 & -21 -40 & 23 & -41 -30 & 17 & -29
c) Usando X=A^-1B obtemos as mesmas soluções dos itens a).
d) Usando a decomposição LU obtemos também as mesmas soluções dos itens a).

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