Considere o seguinte sistema de equações:
& 3 x+2 y-5 z+2 w=b1 ; 7 x-5 y+2 z-4 w=b2 & x-5 y+6 z-7 w=b3 ; 2 x-6 y-8 z+11 w=b4
Usando a decomposição LU encontre as soluç ões do sistema quando (b1, b2, b3, b4)=(87,-37,-41,35) e quando (b1, b2, b3, b4)=(-12,21,23,25).

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
A,x = b, A = 3 & 2 & -5 & 2 7 & -5 & 2 & -4 1 & -5 & 6 & -7 2 & -6 & -8 & 11 ,
com dois vetores b.
O conteúdo matricial é a decomposição LU sem pivotamento, que nos permite escrever A = L,U com L unitária (diagonal principal igual a 1) e U triangular superior.
Para resolver A,x=b vamos:
  1. fatorar A=L,U;
  2. para cada b resolver L,y=b (“substituição para frente”);
  3. depois resolver U,x = y (“substituição para trás”).

Passo 2

Fazendo eliminação gaussiana sem troca de linhas, obtemos
L = 1 & 0 & 0 & 0 73 & 1 & 0 & 0 13 & 1729 & 1 & 0 23 & 2229 & 2185 & 1 , U = 3 & 2 & -5 & 2 0 & -tfrac293 & tfrac413 & -tfrac263 0 & 0 & -tfrac1029 & -tfrac7529 0 & 0 & 0 & 129

Passo 3

Caso (i): b^(1)=(87,-37,-41,35)^T.
  1. Resolve-se L,y=b^(1):
y1 &= 87, y2 &= -37 - tfrac73,87 = -240, y3 &= -41 - tfrac13,87 - tfrac1729(-240) = 205029, y4 &= 35 - tfrac23,87 - tfrac2229(-240) - tfrac2185,205029 = -2923
  1. Depois U,x = y:
129,x4 = -2923 Longrightarrow x4 = -tfrac2923129, -tfrac1029,x3 - tfrac7529,x4 = tfrac205029 Longrightarrow x3 = -tfrac301586, -tfrac293,x2 + tfrac413,x3 - tfrac263,x4 = -240 Longrightarrow x2 = -tfrac330897482, 3,x1 + 2,x2 -5,x3 +2,x4 = 87 Longrightarrow x1 = -tfrac2935258

Passo 4

Caso (ii): b^(2)=(-12,21,23,25)^T.
  1. L,y=b^(2)
y1&=-12, y2&=21 - tfrac73(-12)=49, y3&=23 - tfrac13(-12) -tfrac1729,49 = -tfrac5029, y4&=25 - tfrac23(-12) -tfrac2229,49 -tfrac2185l(-tfrac5029r) = 71
  1. U,x=y conduz a
129,x4=71 Longrightarrow x4=tfrac71129, -tfrac1029,x3-tfrac7529,x4=-tfrac5029 Longrightarrow x3=tfrac7586, -tfrac293,x2+tfrac413,x3-tfrac263,x4=49 Longrightarrow x2=-tfrac323937482, 3,x1+2,x2-5,x3+2,x4=-12 Longrightarrow x1=-tfrac2037482

Resposta

Para (b1,b2,b3,b4)=(87,-37,-41,35):
x = l(x1,x2,x3,x4r) = l(-tfrac2935258,, -tfrac330897482,, -tfrac301586,, -tfrac2923129r)
Para (b1,b2,b3,b4)=(-12,21,23,25):
x = l(x1,x2,x3,x4r) = l(-tfrac2037482,, -tfrac323937482,, tfrac7586,, tfrac71129r)

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