Utilize o método de Newton para determinar soluções com precisão de 10^-5 para cada item:
e^x-3 x^2=0 para 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar a raiz da função
f(x) = e^x - 3x^2
no intervalo xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) usando o Método de Newton até a diferença entre iterações ser menor que .
Conteúdo: método numérico de Newton (também chamado de Newton–Raphson), que usa a derivada da função para refinar chutes.
O que precisamos:
  1. Expressar e sua derivada .
  2. Escolher um chute inicial .
  3. Iterar via
até .

Passo 2

Definindo a função e sua derivada:
f(x) = e^x - 3x^2, f'(x) = ddx(e^x - 3x^2) = e^x - 6x
No Método de Newton, a fórmula de iteração é
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Isso vem de aproximar por sua tangente em e achar onde essa reta cruza o eixo .

Passo 3

Escolhendo o chute inicial.
Como e , sabemos que a raiz está entre 0 e 1. Vamos usar (pode ser qualquer ponto do intervalo).

Passo 4

Primeira iteração ( f(1) = e^1 - 3cdot1^2 = e - 3 approx -0,281718, ):
f'(1) = e^1 - 6cdot1 = e - 6 approx -3,281718
x1 = 1 - -0,281718-3,281718 approx 1 - 0,0859 = 0,9141
Então

Passo 5

Segunda iteração ( f(0,9141) = e^0,9141 - 3,(0,9141)^2 approx -0,01280, ):
f'(0,9141) = e^0,9141 - 6cdot0,9141 approx -2,9906
x2 = 0,9141 - -0,01280-2,9906 approx 0,9141 - 0,00428 = 0,9098

Passo 6

Terceira iteração ( f(0,9098) approx 0,001463, f'(0,9098) approx -2,9741, ):
x3 = 0,9098 - 0,001463-2,9741 approx 0,9098 + 0,000492 = 0,9103

Passo 7

Quarta iteração ( f(0,9103) approx 5times10^-7, f'(0,9103) approx -2,9759, ):
x4 = 0,9103 - 5times10^-7-2,9759 approx 0,9103 + 1,6times10^-7 = 0,9103218
A diferença , então paramos.

Resposta

A solução aproximada é
x approx 0,91032

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