Considere o seguinte sistema linear Ax=b,
Calcule o determinante de [rrrr -2 & 3 & 1 & 5 5 & 1 & -1 & 0 1 & 6 & 3 & -1 4 & 5 & 2 & 8 ][l x1 x2 x3 x4 ]=[r 2 -1 0 6 ] .

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem: um sistema linear com uma matriz 4×4
A = -2 & 3 & 1 & 5 5 & 1 & -1 & 0 1 & 6 & 3 & -1 4 & 5 & 2 & 8
e o vetor
.
Mas a questão só pede o determinante de . Então o conteúdo é “determinante de matriz 4×4” e vamos usar a técnica de eliminação de Gauss (ou operações elementares de linha) para virar a matriz triangular. Lembra: ao usar apenas “somar múltiplos de linhas” o determinante não muda, e numa matriz triangular o det é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Teoria rápida:
  1. Somar um múltiplo de uma linha a outra não altera o determinante.
  2. Numa matriz triangular (tudo zero acima ou abaixo da diagonal) o determinante é
    .
    Então nosso objetivo é zerar abaixo da diagonal de sem mudar o det. Começamos eliminando a coluna 1 nas linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1 como pivô.

Passo 3

Pivô em -2 & 3 & 1 & 5 [6pt] 0 & 8.5 & 1.5 & 12.5 [3pt] 0 & 7.5 & 3.5 & 1.5 [3pt] 0 & 11 & 4 & 18 . Queremos zerar as entradas abaixo:
  • Linha 2
  • Linha 3
  • Linha 4
Depois dessas operações (que não mudam o det), a matriz vira

Passo 4

Agora pivô em -2 & 3 & 1 & 5 [3pt] 0 & 8.5 & 1.5 & 12.5 [3pt] 0 & 0 & tfrac3717 & -tfrac16217 [3pt] 0 & 0 & tfrac3517 & tfrac3117 . Zera abaixo na coluna 2:
  • Linha 3
  • Linha 4
Fica assim (já com zeros embaixo de 8.5):

Passo 5

Pivô em -2 & * & * & * 0 & 8.5 & * & * 0 & 0 & tfrac3717 & * 0 & 0 & 0 & dfrac6817629 . Zera abaixo:
  • Linha 4 det(A) = (-2)times 8.5 times 3717times 6817629 .
Agora a matriz está triangular:
(Os asteriscos não interessam mais.)
Determinante = produto dos pivôs:
Só simplificar!

Resposta

boxeddet(A) = -401

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