Considere o seguinte sistema linear Ax=b,
Resolva o sistema pela decomposição [rrr 2 & 6 & -3 1 & 3.001 & 2 4 & -1 & 9 ][l x1 x2 x3 ]=[r 5 9 29 ] usando 4 dígitos significativos.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema linear da forma A = 2 & 6 & -3 1 & 3.001 & 2 4 & -1 & 9 , b = 5929 , onde
A = L,U,
O conteúdo é “decomposição LU”: a gente quer escrever
onde é triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior.
Para resolver, precisamos:
  1. calcular e com 4 dígitos significativos,
  2. fazer substituição “para frente” ( ) e depois “para trás” ( ).

Passo 2

Fazendo a eliminação gaussiana (sem pivotamento) e guardando os multiplicadores em ell21 = 12=0.5000, ell31 = 42=2.000 :
  1. Pivot em u22&=3.001-0.5000cdot6=0.001000, u23&=2-0.5000cdot(-3)=3.500, u32&=-1-2.000cdot6=-13.00, u33&=9-2.000cdot(-3)=15.00 :
ell32=u32u22=-13.000.001000=-1.300times10^4
Atualizo linhas 2 e 3 em u33 15.00 - (-1.300times10^4)cdot3.500 =15.00 + 4.5500times10^4 =4.551times10^4 :
L= 1 &0 &0 0.5000 &1 &0 2.000 &-1.300times10^4 &1 , U= 2.000 &6.000 &-3.000 0 &0.001000 &3.500 0 &0 &4.551times10^4
  1. Pivot em :
Atualizo só :
Logo

Passo 3

Agora a substituição para frente y1 = 5, y2 = 9 - 0.5000,y1 = 9 - 2.5 = 6.500, y3 = 29 - 2.000,y1 -(-1.300times10^4),y2 =29 -10 +1.300times10^4cdot6.500 =8.452times10^4 :

Passo 4

Agora a substituição para trás x3 &= y3u33 =8.452times10^44.551times10^4 approx1.857, 0.001000,x2 + 3.500,x3 &=6.500 ;Longrightarrow; x2 = 6.500 - 3.500cdot1.8570.001000 approx0.5000, 2.000,x1 +6.000,x2 -3.000,x3 &=5 ;Longrightarrow; x1 = 5 - 6.000cdot0.5000 +3.000cdot1.8572.000 approx3.786 :

Resposta

x = 3.786 0.5000 1.857

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