Considere o seguinte sistema linear
,
Resolva o sistema pela decomposição
usando 4 dígitos significativos.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um sistema linear da forma
, onde
O conteúdo é “decomposição LU”: a gente quer escrever
onde
é triangular inferior com 1’s na diagonal e
é triangular superior.
Para resolver, precisamos:
Para resolver, precisamos:
- calcular
e com 4 dígitos significativos, - fazer substituição “para frente” (
) e depois “para trás” ( ).
Passo 2
Fazendo a eliminação gaussiana (sem pivotamento) e guardando os multiplicadores em
ell21 = 12=0.5000, ell31 = 42=2.000 :
- Pivot em
:u22&=3.001-0.5000cdot6=0.001000, u23&=2-0.5000cdot(-3)=3.500, u32&=-1-2.000cdot6=-13.00, u33&=9-2.000cdot(-3)=15.00
Atualizo linhas 2 e 3 em
u33 15.00 - (-1.300times10^4)cdot3.500 =15.00 + 4.5500times10^4 =4.551times10^4 :
- Pivot em
:
Atualizo só
:
Logo
Passo 3
Agora a substituição para frente
y1 = 5, y2 = 9 - 0.5000,y1 = 9 - 2.5 = 6.500, y3 = 29 - 2.000,y1 -(-1.300times10^4),y2 =29 -10 +1.300times10^4cdot6.500 =8.452times10^4 :
Passo 4
Agora a substituição para trás
x3 &= y3u33 =8.452times10^44.551times10^4 approx1.857, 0.001000,x2 + 3.500,x3 &=6.500 ;Longrightarrow; x2 = 6.500 - 3.500cdot1.8570.001000 approx0.5000, 2.000,x1 +6.000,x2 -3.000,x3 &=5 ;Longrightarrow; x1 = 5 - 6.000cdot0.5000 +3.000cdot1.8572.000 approx3.786 :