a. Verifique se é possível resolver este sistema pelos métodos de Gauss simples e LU.
b. Resolva-o pelo método de Gauss simples.
c. A partir do método de Gauss identifique as matrizes L e U.
d. Determine a matriz inversa A^{-1} pelo método de Decomposição LU.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear \mathrm{A}\mathrm{x}=\mathrm{b} com
(a) Verificar se é possível resolver o sistema pelos métodos de Gauss simples e de decomposição \mathrm{LU} (interpreto “Gauss simples” como eliminação de Gauss sem pivoteamento).
(b) Resolver o sistema pelo método de Gauss simples (ou seja, eliminação direta e substituição regressiva).
(c) A partir do processo de Gauss, identificar as matrizes \mathrm{L} e \mathrm{U} (tal que \mathrm{A}=\mathrm{L}\mathrm{U}).
(d) Determinar a inversa \mathrm{A}^{-1} usando a decomposição \mathrm{LU}.
Informações relevantes dadas: a própria matriz A e o vetor b. Não há figura ou informação extra necessária.]
Passo 2
Verificação se podemos aplicar Gauss simples (sem pivoteamento) e se existe decomposição \mathrm{LU} sem permutações.
Condição prática para Gauss simples/ \mathrm{LU} sem pivoteamento: os pivôs obtidos durante a eliminação não devem ser zero; uma condição suficiente (e usual de verificação) é que os menores principais (lead. principal minors) não sejam zero. Vou calcular os menores principais e o determinante para garantir invertibilidade.
Menor principal de ordem 1:
\det(\,[2]\,)=2\neq0.
Menor principal de ordem 2 (submatriz superior esquerda):
Conclusão do passo: todos os menores principais necessários são não nulos e \det(A)\neq0. Portanto:
Podemos aplicar Gauss simples (sem necessidade de troca de linhas).
Existe decomposição \mathrm{LU} sem permutações (ou seja, \mathrm{A}=\mathrm{L}\mathrm{U} com \mathrm{L} unitária lower triangular).]
Passo 3
Explicando o método de eliminação de Gauss (didaticamente, passo a passo):
Objetivo da eliminação: transformar a matriz aumentada [A\mid b] em um sistema equivalente com matriz triangular superior \mathrm{U}, usando operações elementares sobre linhas (subtrair múltiplos da linha-pivô das linhas abaixo).
Para zerar um elemento abaixo do pivô \,a_{ii}\, usamos o multiplicador
m_{ji}=\frac{a_{ji}}{a_{ii}},
e substituímos a linha j por \text{L}_j \leftarrow \text{L}_j - m_{ji}\,\text{L}_i.
Esses multiplicadores m_{ji} aparecem como entradas da matriz \mathrm{L} (abaixo da diagonal), enquanto a matriz resultante das linhas transformadas será \mathrm{U}.
Agora aplico isso ao nosso sistema, usando frações para manter exatidão.
Primeira linha de \mathrm{L}\mathrm{U} dá a primeira linha de \mathrm{U}: (2,-1,1).
Segunda linha: \tfrac{3}{2} vezes primeira linha de \mathrm{U} mais segunda linha de \mathrm{U} resulta em (3,3,9).
Terceira linha: \tfrac{3}{2}×primeira + 1×segunda + 1×terceira resulta em (3,3,5).
Logo \mathrm{L}\mathrm{U} = \mathrm{A}, confirmado.]
Passo 6
Explicação do procedimento para calcular \mathrm{A}^{-1} via decomposição \mathrm{LU}:
Se \mathrm{A}=\mathrm{L}\mathrm{U}, então \mathrm{A}^{-1} pode ser obtida resolvendo \mathrm{A}X = I coluna a coluna.
Para cada vetor canônico e_{i} (coluna i da identidade), resolvemos \mathrm{A}x^{(i)}=e_{i}.
Como \mathrm{A}=\mathrm{L}\mathrm{U}, fazemos em duas etapas: resolver \mathrm{L}y^{(i)}=e_{i} (substituição progressiva) e depois \mathrm{U}x^{(i)}=y^{(i)} (substituição regressiva). A coluna x^{(i)} obtida será a coluna i de \mathrm{A}^{-1}.
Vou calcular as três colunas com detalhes.
Passo 7
Cálculo da coluna 1 de \mathrm{A}^{-1} (direcionada ao e_{1}=(1,0,0)^{T}).
Checagem rápida mental: é fácil verificar numericamente que \mathrm{A}\,\mathrm{A}^{-1}=I, então a construção está consistente.]
Resposta
(a) Sim. É possível resolver o sistema pelo método de Gauss simples (os pivôs não são zero) e existe decomposição \mathrm{LU} sem permutações, pois os menores principais são não nulos e \det(A)=-36\neq0.