Alguns números decimais finitos, quando escritos na forma binária, geram dízimas periódicas. É o caso do a=234,4 e do b=375,6.
a) Escreva esses dois números em base binária, identificando o padrão da dizima periódica de cada um (o período).
C
b) Escreva na forma binária o resultado da soma a+b.
Passo 1
O enunciado dá dois números decimais e pede duas coisas:
a) Escrever em base binária os números \,234,4 e \,375,6, explicitando o padrão da dízima periódica de cada parte fracionária (o período).
b) Escrever em base binária o resultado da soma \,234,4+375,6.
Informações relevantes extraídas do enunciado (apenas listando, sem resolver ainda):
Parte inteira de a: 234.
Parte fracionária de a: 0,4.
Parte inteira de b: 375.
Parte fracionária de b: 0,6.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Como converter a parte inteira de um número decimal para binário (relembrando a técnica):
Dividimos sucessivamente a parte inteira por 2.
Anotamos os restos ( 0 ou 1 ); o número binário é esses restos lidos de baixo para cima (último resto = bit mais significativo).
Vou aplicar isso a \,234.
Divisões sucessivas:
\begin{array}{r@{\\ }c@{\\ }l} 234 \div 2 &=& 117\\ \text{com resto }0\\\\ 117 \div 2 &=& 58\\ \text{com resto }1\\\\ 58 \div 2 &=& 29\\ \text{com resto }0\\\\ 29 \div 2 &=& 14\\ \text{com resto }1\\\\ 14 \div 2 &=& 7\\ \text{com resto }0\\\\ 7 \div 2 &=& 3\\ \text{com resto }1\\\\ 3 \div 2 &=& 1\\ \text{com resto }1\\\\ 1 \div 2 &=& 0\\ \text{com resto }1 \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos \,234_{10} = 11101010_2.
Passo 3
Agora a parte fracionária \,0,4. Método para converter frações decimais racionais para binário:
Multiplicamos a fração por 2.
O inteiro da multiplicação ( 0 ou 1 ) é o próximo dígito binário após a vírgula.
Repetimos com a parte fracionária resultante; se a fração for racional, eventualmente os restos se repetem e aparece uma dízima periódica.
Observação útil: \,0,4 = \dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}. Trabalhar com \dfrac{2}{5} torna a análise exata.
Voltamos a \dfrac{2}{5}, portanto a sequência de bits se repete. Os bits obtidos em ordem são 0,1,1,0 e depois repetem.
Logo a parte fracionária em binário é a dízima periódica com bloco 0110:
0,4 = \dfrac{2}{5} = 0.\overline{0110}_2.
Breve comentário didático sobre o período: como a fração é \dfrac{\text{inteiro}}{5} e 5 não é potência de 2, a expansão em base 2 não é finita. O período tem comprimento igual à ordem multiplicativa de 2 módulo 5, que é 4 (pois 2^4\equiv1\pmod 5), daí o período de 4 bits.]
Passo 4
Concluindo para a:
Parte inteira: \,234 = 11101010_2.
Parte fracionária: \,0,4 = 0.\overline{0110}_2.
Portanto
\boxed{\,234,4 = 11101010.\overline{0110}_2.}
Passo 5
Agora converto a parte inteira de b, que é \,375, usando o mesmo método de divisões por 2.
Divisões sucessivas:
\begin{array}{r@{\\ }c@{\\ }l} 375 \div 2 &=& 187\\ \text{com resto }1\\\\ 187 \div 2 &=& 93\\ \text{com resto }1\\\\ 93 \div 2 &=& 46\\ \text{com resto }1\\\\ 46 \div 2 &=& 23\\ \text{com resto }0\\\\ 23 \div 2 &=& 11\\ \text{com resto }1\\\\ 11 \div 2 &=& 5\\ \text{com resto }1\\\\ 5 \div 2 &=& 2\\ \text{com resto }1\\\\ 2 \div 2 &=& 1\\ \text{com resto }0\\\\ 1 \div 2 &=& 0\\ \text{com resto }1 \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima: \,375_{10} = 101110111_2.
Passo 6
Parte fracionária de b: \,0,6 = \dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}. Usamos o mesmo método de multiplicação por 2.
Voltamos a \dfrac{3}{5}, então os bits repetem 1,0,0,1.
Portanto
0,6 = \dfrac{3}{5} = 0.\overline{1001}_2.]
Passo 7
Concluindo para b:
Parte inteira: \,375 = 101110111_2.
Parte fracionária: \,0,6 = 0.\overline{1001}_2.
Assim
\boxed{\,375,6 = 101110111.\overline{1001}_2.}
Passo 8
Agora a soma a+b. Observação rápida e prática (muito útil para a prova): as partes fracionárias são \dfrac{2}{5} e \dfrac{3}{5}; portanto
0,4+0,6 = \dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5}=1.
Logo a soma inteira é
234+375+1 = 610.
Em binário convém representar 610. Vou mostrar a conversão por divisões (mesma técnica do Passo 2 e 5).
Divisões sucessivas para 610:
\begin{array}{r@{\\ }c@{\\ }l} 610 \div 2 &=& 305\\ \text{com resto }0\\\\ 305 \div 2 &=& 152\\ \text{com resto }1\\\\ 152 \div 2 &=& 76\\ \text{com resto }0\\\\ 76 \div 2 &=& 38\\ \text{com resto }0\\\\ 38 \div 2 &=& 19\\ \text{com resto }0\\\\ 19 \div 2 &=& 9\\ \text{com resto }1\\\\ 9 \div 2 &=& 4\\ \text{com resto }1\\\\ 4 \div 2 &=& 2\\ \text{com resto }0\\\\ 2 \div 2 &=& 1\\ \text{com resto }0\\\\ 1 \div 2 &=& 0\\ \text{com resto }1 \end{array}
Lendo de baixo para cima, obtemos 610_{10} = 1001100010_2.
Também podemos ver a soma diretamente em binário: as frações infinitas \overline{0110}_2 e \overline{1001}_2 se somam a 1 (pois o bloco 0110+1001=1111 em cada repetição produz o valor 1 ao considerar a extensão infinita), gerando carry para as partes inteiras. Isso confirma a soma inteira acima.
Passo 9
Resultado final organizado:
(a) Representações binárias com o período indicado.
(b) Soma em binário (número inteiro, sem fração).
Resposta
(a) \,234,4 = 11101010.\overline{0110}_2 e \,375,6 = 101110111.\overline{1001}_2