A função “raiz quadrada”, presente na maioria das calculadoras convencionais pode ser facilmente programada usando o método de Newton-Raphson. De forma genérica, para encontrar
, basta usar a função
com
Como exemplo, se o objetivo for encontrar o valor de
, usamos a função
e
. Mesmo o “chute inicial” não estando tão próximo da solução, o método tende a convergir de forma rápida. Sabendo disso, faça 5 iterações e encontre
como aproximação para
.
Passo 1
O enunciado pede que eu use o método de Newton-Raphson para aproximar
fazendo 5 iterações a partir de
.
Informações dadas:
e
.
Objetivo final: calcular após 5 iterações do método.
Informações dadas:
Objetivo final: calcular
Passo 2
Explicando o método (aula rápida e prática). O método de Newton-Raphson para uma função
usa a fórmula
Aqui
é a aproximação atual e
a aproximação seguinte;
é a derivada de
. A ideia é aproximar a curva por sua reta tangente em
e usar o zero dessa reta como novo chute — por isso converge rápido quando a função é bem comportada.
Passo 3
Aplicando ao nosso
: a derivada é
. Substituindo na fórmula de Newton:
Portanto, para calcular
a iteração fica simples e prática:
Vamos aplicar essa regra com
e fazer 5 iterações.
Passo 4
Cálculo de
:
Passo 5
Cálculo de
(faço em forma fracionária para ficar exato):
Passo 6
Cálculo de
: uso a fração
.
Então
Passo 7
Cálculo de
: primeiro calculo
usando as frações obtidas:
Agora
Passo 8
Cálculo de
: uso
. Primeiro
Então
Observação didática: já na quinta iteração obtivemos um valor correto em muitos dígitos (a raiz exata
), mostrando a rapidez de convergência do método.