A função “raiz quadrada”, presente na maioria das calculadoras convencionais pode ser facilmente programada usando o método de Newton-Raphson. De forma genérica, para encontrar \sqrt{\mathrm{n}}, basta usar a função f(x)=x^{2}-\mathrm{n} com x_{0}=1 Como exemplo, se o objetivo for encontrar o valor de \sqrt{15}, usamos a função f(x)=x^{2}-15 e x_{0}=1. Mesmo o “chute inicial” não estando tão próximo da solução, o método tende a convergir de forma rápida. Sabendo disso, faça 5 iterações e encontre x_{5} como aproximação para \sqrt{15}.

Passo 1

O enunciado pede que eu use o método de Newton-Raphson para aproximar \sqrt{15} fazendo 5 iterações a partir de x_{0}=1.
Informações dadas:
\;f(x)=x^{2}-15 e \;x_{0}=1.
Objetivo final: calcular x_{5} após 5 iterações do método.

Passo 2

Explicando o método (aula rápida e prática). O método de Newton-Raphson para uma função \;f(x) usa a fórmula
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
Aqui x_{k} é a aproximação atual e x_{k+1} a aproximação seguinte; f'(x) é a derivada de f. A ideia é aproximar a curva por sua reta tangente em x_{k} e usar o zero dessa reta como novo chute — por isso converge rápido quando a função é bem comportada.

Passo 3

Aplicando ao nosso f(x)=x^{2}-15: a derivada é \;f'(x)=2x. Substituindo na fórmula de Newton:
x_{k+1}=x_{k}-\frac{x_{k}^{2}-15}{2x_{k}} =\frac{2x_{k}^{2}-(x_{k}^{2}-15)}{2x_{k}} =\frac{x_{k}^{2}+15}{2x_{k}} =\frac{x_{k}+\dfrac{15}{x_{k}}}{2}.
Portanto, para calcular \sqrt{15} a iteração fica simples e prática:
x_{k+1}=\frac{x_{k}+\dfrac{15}{x_{k}}}{2}.
Vamos aplicar essa regra com x_{0}=1 e fazer 5 iterações.

Passo 4

Cálculo de x_{1}:
x_{1}=\frac{x_{0}+\dfrac{15}{x_{0}}}{2} =\frac{1+\dfrac{15}{1}}{2} =\frac{1+15}{2} =\frac{16}{2}=8.

Passo 5

Cálculo de x_{2} (faço em forma fracionária para ficar exato):
x_{2}=\frac{8+\dfrac{15}{8}}{2} =\frac{\dfrac{64}{8}+\dfrac{15}{8}}{2} =\frac{\dfrac{79}{8}}{2} =\frac{79}{16}=4,9375.

Passo 6

Cálculo de x_{3}: uso a fração \;x_{2}=\dfrac{79}{16}.
\dfrac{15}{x_{2}}=\dfrac{15}{79/16}=\dfrac{15\cdot 16}{79}=\dfrac{240}{79}.
Então
x_{3}=\frac{\dfrac{79}{16}+\dfrac{240}{79}}{2} =\frac{\dfrac{79^{2}+16\cdot 240}{16\cdot 79}}{2} =\frac{10081}{2528}\approx 3,9877373418.

Passo 7

Cálculo de x_{4}: primeiro calculo 15/x_{3} usando as frações obtidas:
\dfrac{15}{x_{3}}=\dfrac{15}{10081/2528}=\dfrac{15\cdot 2528}{10081}=\dfrac{37920}{10081}.
Agora
x_{4}=\frac{\dfrac{10081}{2528}+\dfrac{37920}{10081}}{2} =\frac{10081^{2}+2528\cdot 37920}{2\cdot 2528\cdot 10081} =\frac{197\,488\,321}{50\,969\,536}\approx 3,8746344679.

Passo 8

Cálculo de x_{5}: uso x_{4}=\dfrac{197\,488\,321}{50\,969\,536}. Primeiro
\dfrac{15}{x_{4}}=\dfrac{15\cdot 50\,969\,536}{197\,488\,321}=\dfrac{764\,543\,040}{197\,488\,321}\approx 3,8713329280.
Então
x_{5}=\frac{x_{4}+\dfrac{15}{x_{4}}}{2} \approx\frac{3,8746344679+3,8713329280}{2} \approx 3,87298369795.
Observação didática: já na quinta iteração obtivemos um valor correto em muitos dígitos (a raiz exata \sqrt{15}\approx 3,87298334621), mostrando a rapidez de convergência do método.

Resposta

\,x_{5}\approx 3,87298369795

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