Considere o seguinte sistema linear Ax=b,
Resolva o sistema pela decomposição [rrr 2 & 6 & -3 1 & 3.001 & 2 4 & -1 & 9 ][l x1 x2 x3 ]=[r 5 9 29 ] usando 4 dígitos significativos.

Passo 1

O exercício pede para resolver o sistema linear
A x = b, A = 2 & 6 & -3 1 & 3.001 & 2 4 & -1 & 9 ,; b=5929,
usando decomposição com pivotamento parcial e guardando 4 dígitos significativos. Vamos usar teoria de fatoração LU com permutações:
  • fazemos pivôs parciais para manter estabilidade numérica;
  • montamos ;
  • depois resolvemos e .

Passo 2

Primeiro pivô (coluna 1): olhamos os módulos na coluna 1 de P1A = 4 & -1 & 9 1 & 3.001 & 2 2 & 6 & -3 : . Máximo em 4, que está na 3ª linha. Então trocamos a linha 1 com a 3.
Isso gera a primeira permutação .

Passo 3

Eliminação na coluna 1:
  • L^(1)=1&0&00.2500&1&00.5000&0&1, U^(1)= 4 & -1 & 9 0 & 3.251 & -0.2500 0 & 6.500 & -7.500 atualizamos linha 2
  • atualizamos linha 3
Fica

Passo 4

Segundo pivô (coluna 2 do L^(2)= 1&0&0 0.5000&1&0 0.2500&0&1 , U^(2)= 4 & -1 & 9 0 & 6.500 & -7.500 0 & 3.251 & -0.2500 ): olhamos . Máximo em 6.500 (linha 3), então trocamos linha 2 com a 3 em e também trocamos os coeficientes já computados de nessas linhas, colunas anteriores.
Após a troca:

Passo 5

Eliminação na coluna 2:
m32 = 3.2516.500 = 0.5002
Atualizando linha 3 de U= 4 & -1 & 9 0 & 6.500 & -7.500 0 & -0.0003 & 3.502 , L= 1&0&0 0.5000&1&0 0.2500&0.5002&1 :
P = 0&0&1 1&0&0 0&1&0
E a permutação total vale

Passo 6

Agora resolvemos Pb = 0&0&11&0&00&1&0!5929 = 2959 . Primeiro :
Sistema :
  1. .
  2. .

  3. .
Logo .

Passo 7

Agora .
3) .
2) .
  1. .

Resposta

x approx 3.2440.68001.856

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