Considere o sistema linear Ax=b,
Resolva o sistema linear pela decomposição de Cholesky usando 4 dígitos decimais.

Passo 1

Beleza, temos um sistema linear grande:
A= 2 & 1 & -2 & 0 1 & 10& 5 & 1 -2& 5 & 8 & 4 0 & 1 & 4 & 6 , x=(x1,x2,x3,x4)^T, b=(1,0,11,21)^T
Conteúdo: vamos usar decomposição de Cholesky, que diz que se A = L,L^T, é simétrica e definida positiva, podemos escrever
onde é triângular inferior com entradas reais e positivas na diagonal. Depois, resolvemos dois sistemas triangulares e . Vamos precisar de raiz quadrada, divisão e subtração — e manter 4 casas decimais em tudo.

Passo 2

Primeiro, achamos Lji = 1Liil(Aji - sumk=1^i-1LjkLikr) . Denotamos suas entradas por (zero para ). As fórmulas-padrão são:
  1. .
  2. Para :

Passo 3

Calculando passo a passo (tudo com 4 dígitos decimais):
  1. L11=raiz2=1.4142, L21=11.4142=0.7071, L31=-21.4142=-1.4142, L41=01.4142=0 :
L22=raiz10 - (0.7071)^2 =raiz9.5000=3.0822,
  1. L32=5 - (-1.4142)(0.7071)3.0822 =6.00003.0822=1.9464, :
L42=1 - (0)(0.7071)3.0822 =0.3244
L33=raiz8 - (-1.4142)^2 - (1.9464)^2 =raiz8 - 2.0000 - 3.7877 =raiz2.2123=1.4874,
L43=4 - 0 - (0.3244)(1.9464)1.4874 =4 - 0.63141.4874 =2.2646
  1. L44=raiz6 - 0^2 - (0.3244)^2 - (2.2646)^2 =raiz6 - 0.1053 - 5.1286 =raiz0.7661=0.8754 :
L= 1.4142 & 0 & 0 & 0 0.7071 & 3.0822 & 0 & 0 -1.4142& 1.9464 & 1.4874 & 0 0 & 0.3244 & 2.2646 & 0.8754
  1. :
No final,

Passo 4

Agora, resolvemos y=(0.7071,,-0.1622,;8.2773,;2.6370)^T . Isso é progressivo (forward‐substitution):
Então

Passo 5

Agora resolvemos 0.8754,x4 = 2.6370 ;Longrightarrow; x4 = 3.0120 por back‐substitution (de baixo pra cima):
  1. Da última linha:
1.4874,x3 + 2.2646,x4 = 8.2773 ;Longrightarrow; x3 = 8.2773 - 2.2646cdot3.01201.4874 =0.9786
  1. Linha 3:
3.0822,x2 + 1.9464,x3 + 0.3244,x4 = -0.1622 ;Longrightarrow; x2 = -0.1622 - 1.9464cdot0.9786 - 0.3244cdot3.01203.0822 =-0.9882
  1. Linha 2:
1.4142,x1 + 0.7071,x2 -1.4142,x3 = 0.7071 ;Longrightarrow; x1 = 0.7071 - 0.7071(-0.9882) +1.4142(0.9786)1.4142 =1.9725
  1. Linha 1:

Resposta

boxedx = l(1.9725,;-0.9882,;0.9786,;3.0120r)^T

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