É possível aplicar ao sistema linear o método de Jacobi com convergência assegurada? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão nos dá um sistema linear
e pergunta se dá pra usar o método de Jacobi com garantia de convergência. Isso cai no conteúdo de métodos iterativos para resolver sistemas lineares, e o que a gente vai precisar é:
• Saber como o Jacobi constrói sua iteração;
• Conhecer um critério de convergência: matriz estritamente diagonalmente dominante (ou equivalente como raio espectral < 1).
Passo 2
Teoria do método de Jacobi resumida:
– A matriz do sistema é x^(k+1) = D^-1l(b - R,x^(k)r) Long<=ftrightarrow x^(k+1) = -D^-1R,x^(k) + D^-1b , decomposta em |aii| > sumjneq i |aij| , onde
• é a matriz diagonal com os elementos ,
• é o resto (todos os outros elementos de ).
– A iteração de Jacobi é
– Convergência garantida se a matriz de iteração tiver raio espectral. Mas, de forma mais prática, se for estritamente diagonalmente dominante, então automaticamente.
O critério de dominância diagonal diz:
Para cada linha ,
Passo 3
Vamos montar A = 2 & -1 & 1 2 & 2 & 2 -1& -1 & 2 e verificar linha a linha:
Linha 1: . Soma dos outros: .
Não é estritamente maior (é igual), então já falha aqui.
Linha 2: . Soma dos outros: . não é maior que . Falho de novo.
Linha 3: . Soma dos outros: .
De novo é igual, não estritamente maior.
Passo 4
Como nenhuma das linhas satisfaz , a matriz não é estritamente diagonalmente dominante. Logo, não podemos garantir convergência pelo critério de dominância. A gente poderia até calcular o raio espectral de , mas o critério mais simples já falhou.
Resposta
Não é possível assegurar convergência do método de Jacobi para esse sistema, pois a matriz dos coeficientes não é estritamente diagonalmente dominante.