Dada a tabela, o objetivo deste exercício é encontrar o polinômio de interpolação de Lagrange usando todos os valores:
|c|cccc| hline$x$ & 2,3 & 2,4 & 2,5 & 2,6 hline $log 10 x$ & 0,361728 & 0,380211 & 0,397940 & 0,414973 hline 2,3 2,4 2,5 2,6
0,361728 0,380211 0,397940 0,414973
b) Encontre o polinômio de Lagrange;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o polinômio de interpolação de Lagrange que passa pelos 4 pontos
(x₀,y₀)=(2,3 ,0,361728),
(x₁,y₁)=(2,4 ,0,380211),
(x₂,y₂)=(2,5 ,0,397940),
(x₃,y₃)=(2,6 ,0,414973).
O conteúdo é “Interpolação Polinomial de Lagrange” e, pra resolver, a gente vai precisar da fórmula do polinômio de Lagrange e desses valores da tabela.

Passo 2

Teoria: o polinômio de Lagrange de grau ≤3 que interpola 4 pontos é
P3(x)=sumi=0^3yi,elli(x),
com
elli(x)=prodsubstackj=0jneq i^3x-xjxi-xj,
Cada elli(x) vale 1 em x=xi e 0 em todos os outros xj.

Passo 3

Calculando ell0(x) para x0=2,3:
ell0(x)=x-2,42,3-2,4,x-2,52,3-2,5,x-2,62,3-2,6 =x-2,4-0,1;x-2,5-0,2;x-2,6-0,3,

Passo 4

Calculando ell1(x) para x1=2,4:
ell1(x)=x-2,32,4-2,3,x-2,52,4-2,5,x-2,62,4-2,6 =x-2,30,1;x-2,5-0,1;x-2,6-0,2,

Passo 5

Calculando ell2(x) para x2=2,5:
ell2(x)=x-2,32,5-2,3,x-2,42,5-2,4,x-2,62,5-2,6 =x-2,30,2;x-2,40,1;x-2,6-0,1,

Passo 6

Calculando ell3(x) para x3=2,6:
ell3(x)=x-2,32,6-2,3,x-2,42,6-2,4,x-2,52,6-2,5 =x-2,30,3;x-2,40,2;x-2,50,1,

Passo 7

Agora monta o polinômio:
P3(x)=0,361728,ell0(x)+0,380211,ell1(x)+0,397940,ell2(x)+0,414973,ell3(x)
Esse é o polinômio de Lagrange pedido, escrito na forma padrão de base de Lagrange.

Resposta

O polinômio de interpolação de Lagrange é
boxed P3(x)=0,361728;(x-2,4)(x-2,5)(x-2,6)(-0,1)(-0,2)(-0,3);+;0,380211;(x-2,3)(x-2,5)(x-2,6)(0,1)(-0,1)(-0,2);+;0,397940;(x-2,3)(x-2,4)(x-2,6)(0,2)(0,1)(-0,1);+;0,414973;(x-2,3)(x-2,4)(x-2,5)(0,3)(0,2)(0,1)

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