Considere a seguinte tabela que representa a deflexão (em centímetros) de uma prancha de saltos, num salto de um atleta olímpico, em vários instantes de tempo de preparação:
t 0,5 2 4
f(t) 1,75 -2 0
Encontre um polinômio interpolador para f(t).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem três pontos da função deflexão de uma prancha em instantes de tempo:
\
que passe exatamente por esses três pontos.
Conteúdo: interpolação polinomial (vamos usar o método de Lagrange).
O que precisamos: entender que com três pontos dá para ajustar um polinômio de grau até 2 e aplicar a fórmula dos polinômios-linha de Lagrange.

Passo 2

Por que grau 2?
  • Qualquer polinômio de grau ≤2 é definido por três coeficientes (ex.: ).
  • Três pontos dão três condições, então conseguimos determinar .
    Vamos usar a forma de Lagrange porque ela dá diretamente o polinômio sem resolver sistemas lineares.

Passo 3

Polinômios-base de Lagrange:
\
Para cada ponto Li(t)=prodjneq it-tjti-tj , definimos
\
f(t)=sumi=0^2fi,Li(t)
\
Aí o interpolador é
Aqui nossos pontos são:
,
,
.
Então:
Observe que , então o termo com vai anular.

Passo 4

Agora montamos
f(t)=1,75,L0(t)+(-2),L1(t)+0cdot L2(t)
Substituindo:
f(t) =1,75;(t-2)(t-4)5,25 ;-!2;(t-0,5)(t-4)-3
  1. Simplifico f(t) =13,(t-2)(t-4) +23,(t-0,5)(t-4) .
  2. Simplifico 13(t^2-6t+8) +23(t^2-4.5t+2) =t^2-6t+8+2t^2-9t+43 =3t^2-15t+123 =t^2-5t+4 .
Então
Basta agora expandir e juntar termos:

Resposta

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