Considere a seguinte tabela que representa a deflexão (em centímetros) de uma prancha de saltos, num salto de um atleta olímpico, em vários instantes de tempo de preparação:
|
0,5 | 2 | 4 |
---|---|---|---|
|
1,75 | -2 | 0 |
Encontre um polinômio interpolador para
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a gente tem três pontos da função deflexão de uma prancha em instantes de tempo:
\
que passe exatamente por esses três pontos.
Conteúdo: interpolação polinomial (vamos usar o método de Lagrange).
O que precisamos: entender que com três pontos dá para ajustar um polinômio de grau até 2 e aplicar a fórmula dos polinômios-linha de Lagrange.
\
que passe exatamente por esses três pontos.
Conteúdo: interpolação polinomial (vamos usar o método de Lagrange).
O que precisamos: entender que com três pontos dá para ajustar um polinômio de grau até 2 e aplicar a fórmula dos polinômios-linha de Lagrange.
Passo 2
Por que grau 2?
- Qualquer polinômio de grau ≤2 é definido por três coeficientes (ex.:
). - Três pontos dão três condições, então conseguimos determinar
.
Vamos usar a forma de Lagrange porque ela dá diretamente o polinômio sem resolver sistemas lineares.
Passo 3
Polinômios-base de Lagrange:
\
Para cada ponto , definimos
\
\
Para cada ponto
\
\
Aí o interpolador é
Aí o interpolador é
Aqui nossos pontos são:
,
,
.
Então:
Então:
Observe que
, então o termo com
vai anular.
Passo 4
Agora montamos
Substituindo:
- Simplifico
. - Simplifico
.
Então
Basta agora expandir e juntar termos: