As tabelas a seguir apresentam as quantidades de horas extras h acumuladas de cada funcionário de uma construtora. Encontre o polinômio interpolador e a previsão solicitada.
Cleiton trabalhou 5 dias seguidos na semana. Quantas horas extras ela teria feito se trabalhasse mais um dia seguido?
t 1 2 3 4 5
s(t) 0 1 1 1,5 2,5

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar um polinômio que passe exatamente pelos pontos
e, depois, usar esse polinômio pra prever quanto seria .
Isso faz parte do conteúdo de interpolação polinomial.
Vamos usar o método de Newton com diferenças finitas, porque os estão igualmente espaçados (de 1 em 1).
Para isso a gente vai:
  1. montar a tabela de diferenças finitas;
  2. extrair os coeficientes do polinômio na forma de Newton;
  3. escrever o polinômio e depois avaliar em .

Passo 2

Primeiro, construímos a tabela de diferenças. Anota as colunas assim:
1 0
2 1
3 1
4 1.5
5 2.5
Aqui, é a primeira diferença, a segunda e por aí vai.

Passo 3

No método de Newton (com espaçamento P(t) = s0 + De), o polinômio fica:
onde
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • e .

Passo 4

Substituindo esses valores:
P(t) = 0 + 1,(t-1) + -12,(t-1)(t-2) + 1.56,(t-1)(t-2)(t-3) + -1.524,(t-1)(t-2)(t-3)(t-4)
Se quiser simplificar as constantes:
P(t) = (t-1) - tfrac12,(t-1)(t-2) + tfrac14,(t-1)(t-2)(t-3) - tfrac116,(t-1)(t-2)(t-3)(t-4)

Passo 5

Pra prever , a gente faz , então .
Calculando termo a termo:
Somando: .

Resposta

Polinômio interpolador (forma de Newton):
P(t) = (t-1) - tfrac12,(t-1)(t-2) + tfrac14,(t-1)(t-2)(t-3) - tfrac116,(t-1)(t-2)(t-3)(t-4)
Previsão para s(6) = 2.5 :

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