As tabelas a seguir apresentam as quantidades de horas extras h acumuladas de cada funcionário de uma construtora. Encontre o polinômio interpolador e a previsão solicitada.
Roberval não trabalhou no primeiro dia da semana e trabalhou outros 4 dias seguidos. Quantas horas extras ela teria feito se tivesse trabalhado no primeiro dia?
x (dias) 2 3 4 5
h 1,6 2,8 3,7 4,3

Passo 1

Tranquilo, o enunciado diz que a gente tem o total de horas extras acumuladas em certos dias , mais precisamente nos dias 2, 3, 4 e 5. A tarefa é:
  1. Encontrar o polinômio interpolador que passa por esses quatro pontos,
  2. Usar esse polinômio para prever quantas horas extras teria sido feitas no dia 1 (onde não há dado).
    Isso é um problema de interpolação polinomial – e, olhando pros quatro pontos, a gente vai usar diferenças finitas pra descobrir o grau e depois encaixar num polinômio de grau adequado.

Passo 2

Vamos montar a tabela de diferenças finitas (porque os estão igualmente espaçados em 1 unidade) pra ver qual o grau do polinômio:
2 1,6
3 2,8 2,8−1,6=1,2
4 3,7 3,7−2,8=0,9 0,9−1,2=−0,3
5 4,3 4,3−3,7=0,6 0,6−0,9=−0,3 (−0,3)−(−0,3)=0
A gente vê que é constante (−0,3) e . Logo, o polinômio é de grau 2.

Passo 3

Então postulamos um polinômio genérico de segundo grau:
h(x) ;=; a,x^2 + b,x + c
Basta usar três dos pontos fornecidos pra montar um sistema em , , . Vou pegar .

Passo 4

Substituindo:
Para 4a + 2b + c = 1,6 , 9a + 3b + c = 2,8 :
16a + 4b + c = 3,7
Para (7a+b) - (5a+b) = 0,9 - 1,2 ;Longrightarrow;2a = -0,3 ;Longrightarrow;a = -0,15 , 5(-0,15) + b = 1,2 ;Longrightarrow;-0,75 + b = 1,2 ;Longrightarrow;b = 1,95 :
4(-0,15) + 2(1,95) + c = 1,6 ;Longrightarrow;-0,6 + 3,9 + c = 1,6 ;Longrightarrow;3,3 + c = 1,6 ;Longrightarrow;c = -1,7
Para , :
Agora subtraímos em sequência pra eliminar :
(2)−(1):
(3)−(2):
Subtraindo essas duas:
Voltando em :
Por fim, em :

Passo 5

Já temos o polinômio interpolador de grau 2:
boxed,h(x) = -0,15,x^2 ;+;1,95,x ;-;1,7,

Passo 6

Agora é só prever para h(1) = -0,15cdot1^2 + 1,95cdot1 - 1,7 = -0,15 + 1,95 - 1,7 = 0,10 :

Resposta

O polinômio interpolador é
h(x) = -0,15,x^2 + 1,95,x - 1,7
e, se a Roberval tivesse trabalhado no dia 1, a previsão de horas extras seria
boxed0,1 hora extra

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