As tabelas a seguir apresentam as quantidades de horas extras
acumuladas de cada funcionário de uma construtora. Encontre o polinômio interpolador e a previsão solicitada.
Roberval não trabalhou no primeiro dia da semana e trabalhou outros 4 dias seguidos. Quantas horas extras ela teria feito se tivesse trabalhado no primeiro dia?
Roberval não trabalhou no primeiro dia da semana e trabalhou outros 4 dias seguidos. Quantas horas extras ela teria feito se tivesse trabalhado no primeiro dia?
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2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|
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1,6 | 2,8 | 3,7 | 4,3 |
Passo 1
Tranquilo, o enunciado diz que a gente tem o total de horas extras acumuladas
em certos dias
, mais precisamente nos dias 2, 3, 4 e 5. A tarefa é:
- Encontrar o polinômio interpolador que passa por esses quatro pontos,
- Usar esse polinômio para prever quantas horas extras teria sido feitas no dia 1 (onde não há dado).
Isso é um problema de interpolação polinomial – e, olhando pros quatro pontos, a gente vai usar diferenças finitas pra descobrir o grau e depois encaixar num polinômio de grau adequado.
Passo 2
Vamos montar a tabela de diferenças finitas (porque os
estão igualmente espaçados em 1 unidade) pra ver qual o grau do polinômio:
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---|---|---|---|---|
2 | 1,6 | |||
3 | 2,8 | 2,8−1,6=1,2 | ||
4 | 3,7 | 3,7−2,8=0,9 | 0,9−1,2=−0,3 | |
5 | 4,3 | 4,3−3,7=0,6 | 0,6−0,9=−0,3 | (−0,3)−(−0,3)=0 |
A gente vê que
é constante (−0,3) e
. Logo, o polinômio é de grau 2.
Passo 3
Então postulamos um polinômio genérico de segundo grau:
Basta usar três dos pontos fornecidos pra montar um sistema em
,
,
. Vou pegar
.
Passo 4
Substituindo:
Para ,
:
Para
Para
,
:
Para
,
:
Agora subtraímos em sequência pra eliminar
:
(2)−(1): ⇒
(3)−(2): ⇒
Subtraindo essas duas:
(2)−(1):
(3)−(2):
Subtraindo essas duas:
Voltando em
:
Por fim, em
:
Passo 5
Já temos o polinômio interpolador de grau 2:
Passo 6
Agora é só prever para
:
Resposta
O polinômio interpolador é
e, se a Roberval tivesse trabalhado no dia 1, a previsão de horas extras seria