Considere a seguinte tabela:
x -2 -1 0 1 2
f(x) 0,2 0,1 0 0,1 0,2
n 0 1 2 3 4
Determine o polinômio de grau 4 que interpola os pontos utilizando a Forma de Newton

Passo 1

Legal, o enunciado diz que temos cinco pontos
\

\
E a parada é achar o polinômio de grau 4 que passa por todos eles usando a Forma de Newton. Isso faz parte de Interpolação Polinomial e a gente vai precisar montar a tabela de diferenças divididas e depois “encaixar” cada coeficiente na fórmula de Newton.

Passo 2

Primeiro, calculamos as diferenças de primeira ordem
\
Definição:
f[xi,xi+1] ;=;f(xi+1)-f(xi)xi+1-xi
Calculemos:
f[x0,x1]&=0,1-0,2-1-(-2)=-0,1, f[x1,x2]&=0-0,10-(-1)=-0,1, f[x2,x3]&=0,1-01-0=0,1, f[x3,x4]&=0,2-0,12-1=0,1

Passo 3

Agora, as diferenças de segunda ordem
f[xi,xi+1,xi+2] =,f[xi+1,xi+2]-f[xi,xi+1],xi+2-xi
f[x0,x1,x2]&=-0,1-(-0,1)0-(-2)=0, f[x1,x2,x3]&=0,1-(-0,1)1-(-1)=0,22=0,1, f[x2,x3,x4]&=0,1-0,12-0=0

Passo 4

Terceira e quarta ordem:
\
Diferenças de 3ª ordem
f[xi,dots,xi+3] =f[xi+1,dots,xi+3]-f[xi,dots,xi+2]xi+3-xi
f[x0,x1,x2,x3]&=0,1-01-(-2)=0,13=tfrac130, f[x1,x2,x3,x4]&=0-0,12-(-1)=-0,13=-tfrac130
Diferença de 4ª ordem
f[x0,dots,x4] =-tfrac130-tfrac1302-(-2) =-2/304=-tfrac160

Passo 5

Monta-se o polinômio em Forma de Newton:
P4(x)= f[x0] +f[x0,x1](x-x0) +f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)
+f[x0,dots,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2) +f[x0,dots,x4](x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)
Substituindo nossos valores:
P4(x)= 0,2 -0,1,(x+2) +0,(x+2)(x+1) +tfrac130(x+2)(x+1)x -tfrac160(x+2)(x+1)x(x-1)

Resposta

Uma forma mais enxuta (expandida) é
boxed P4(x)=-tfrac160,x^4+tfrac760,x^2

Exercícios relacionados