Para as funções dadas, seja x0=0, x1=0,6 e x2=0,9. Construa polinômios interpoladores de grau dois para determinar uma aproximação de f(0,45) e encontre o erro absoluto.
f(x)=tg(x)

Passo 1

Resumo do problema: a função é
f(x) = tan(x)
e temos três pontos
x0 = 0, x1 = 0,6, x2 = 0,9
Queremos montar o polinômio interpolador de grau 2 (quadrático) que passa por e usar esse polinômio para aproximar . Depois, calculamos o erro absoluto entre a aproximação e o valor exato .
Conteúdo: interpolação polinomial (fórmula de Lagrange).

Passo 2

Teoria de Lagrange: para três pontos P2(x);=;sumi=0^2 fi,Li(x), , o polinômio interpolador de grau 2 é
Li(x) =prodsubstackj=0jneq i^2x - xjxi - xj
onde cada base de Lagrange é
Isso garante , então .

Passo 3

Calculando f0 = tan(0) = 0, f1 = tan(0,6)approx 0,6841368, f2 = tan(0,9)approx 1,2601582 :

Passo 4

Montando as bases L0(x) =(x-0,6)(x-0,9)(0-0,6)(0-0,9) =(x-0,6)(x-0,9)0,54, :
L1(x) =(x-0)(x-0,9)(0,6-0)(0,6-0,9) =x,(x-0,9)0,6cdot(-0,3) =-x,(x-0,9)0,18,
L2(x) =(x-0)(x-0,6)(0,9-0)(0,9-0,6) =x,(x-0,6)0,9cdot0,3 =x,(x-0,6)0,27
P2(x) =0cdot L0(x) +0,6841368;L1(x) +1,2601582;L2(x)
Então

Passo 5

Aproximando em L1(0,45) =-0,45,(0,45-0,9)0,18 =-0,45cdot(-0,45)0,18 =1,125, :
L2(0,45) =0,45,(0,45-0,6)0,27 =0,45cdot(-0,15)0,27 =-0,25
P2(0,45) =0,6841368cdot1,125 +1,2601582cdot(-0,25) approx0,4546
Logo,
tan(0,45)approx0,4833,
O valor exato é
l|tan(0,45)-P2(0,45)r| approxl|0,4833-0,4546r| approx0,0287
portanto o erro absoluto é

Resposta

Aproximação e erro absoluto .

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