Considere as seguintes afirmações sobre esses métodos:
O método da bisseção é uma técnica iterativa que garante a convergência para uma raiz de uma equação se a função for contínua em um intervalo [a,b] e houver troca de sinal entre os extremos do intervalo.
O método da bisseção é uma técnica iterativa que garante a convergência para uma raiz de uma equação se a função for contínua em um intervalo [a,b] e houver troca de sinal entre os extremos do intervalo.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda analisar a afirmação sobre o método da bisseção: “Ele é iterativo e garante convergência para uma raiz se a função for contínua em
e houver troca de sinal nos extremos.”
Conteúdo envolvido: métodos numéricos (busca de raízes), Teorema do Valor Intermediário (Bolzano) e ideia de convergência por redução de intervalo. Vamos precisar:
- Teorema do Valor Intermediário (se
é contínua em e , existe raiz). - Como o método de bisseção usa esse teorema iterativamente, dividindo o intervalo ao meio.
Passo 2
Primeiro, o Teorema do Valor Intermediário diz que, se
é contínua em
e
e
têm sinais opostos (
), então existe ao menos uma raiz
. Isso é a base do método de bisseção: só faz sentido aplicar quando há essa troca de sinal.
Passo 3
Agora, como o método de bisseção funciona na prática:
- Definimos o ponto médio
- Calculamos
. - Se
, achamos a raiz. Senão, escolhemos o subintervalo ou onde ainda haja troca de sinal, ou seja, onde ou . - Repetimos o processo no novo intervalo.
A cada iteração o comprimento do intervalo cai pela metade, ou seja, depois de
passos o erro máximo é
. Como esse tamanho tende a zero quando
, o método sempre converge à raiz garantida pelo Teorema do Valor Intermediário.
Resposta
A afirmação é verdadeira.