Considere os seguintes conjuntos
A=a, b e B=emptyset,a, b,a, b
P(A)=B ? Justifique.
Obs: P(X) denota o conjunto das partes de um conjunto X.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois conjuntos
A=a,be B=emptyset,a,b,a,b,
e pergunta se P(A)=B, ou seja, se o conjunto das partes de é exatamente .
Conteúdo: teoria de conjuntos, em especial a definição de “conjunto das partes” (power set).
O que vamos precisar:
- Saber o que é .
- Listar todos os elementos de .
- Comparar com os elementos dados em .

Passo 2

Definição de conjunto das partes:
é o conjunto formado por todos os subconjuntos de .
Se , então cada subconjunto pode conter ou não cada elemento, o que gera subconjuntos.
No nosso caso, tem subconjuntos.

Passo 3

Vamos listar esses 4 subconjuntos de P(A)=lemptyset,;a,;b,;a,br :
  1. O subconjunto vazio: .
  2. O subconjunto que só tem : .
  3. O subconjunto que só tem : .
  4. O próprio : .
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Passo 4

Agora, vamos comparar B=emptyset,a,b,a,b com o conjunto dado:
Repare que em aparece o elemento sozinho, e não o subconjunto .
Ou seja, , mas .
Por outro lado, em aparece , mas não aparece como elemento “simples”.

Resposta

Não, .
Justificativa: contém o subconjunto , enquanto contém o elemento (não o conjunto ), portanto os dois conjuntos não são iguais.

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