Considere os seguintes conjuntos
A=a, b e B=emptyset,a, b,a, b
Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. No caso de ser falsa, reescreva a afirmação de modo a torná-la verdadeira.
emptyset in P(A)
Obs: P(X) denota o conjunto das partes de um conjunto X.

Passo 1

Beleza, o que pede o exercício é: temos o conjunto
A=a,b
e queremos saber se a afirmação
emptysetin P(A)
é verdadeira ou falsa.
Aqui o conteúdo é Teoria de Conjuntos, mais precisamente a definição de conjunto das partes (power set). Para resolver, precisamos lembrar que
P(A)
é o conjunto de todos os subconjuntos de .

Passo 2

Vamos aplicar a definição de P(A) =l, emptyset,;a,;b,;a,b r . Por definição,
é o conjunto cujos elementos são exatamente os subconjuntos de .
Os subconjuntos de são:
  1. o conjunto vazio ,
  2. o singleton ,
  3. o singleton ,
  4. o próprio , que é .
    Logo,

Passo 3

Agora, a afirmação diz . Isso significa que o elemento (um conjunto cujo único elemento é ) deveria estar na lista de cima.
Mas observe: os elementos de são conjuntos cujos elementos são e/ou . O conjunto tem como elemento , que não é nem nem .
Portanto, não aparece em
.

Passo 4

Concluímos que a afirmação original é falsa.
Para torná-la verdadeira, a gente pode trocar o símbolo “ ” por “ ” (ou “ ”), já que é, de fato, subconjunto de (porque o único elemento de , que é , está em ).

Resposta

A afirmação
emptyset;subseteq;P(A)
é falsa.
Uma versão verdadeira seria

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