Obtenha a solução geral da equação de recorrência
yn+2-10 yn+1+25 yn=8 cdot 3^n

Passo 1

Beleza, vamos decifrar o que o exercício pede. A gente tem uma recorrência de segunda ordem não homogênea:
yn+2-10,yn+1+25,yn=8cdot3^n,
O conteúdo aqui é “recorrência linear de coeficientes constantes” com um termo não homogêneo. Para resolver, precisamos:
1) achar a solução geral da parte homogênea (quando o lado direito é zero),
2) encontrar uma solução particular que “casem” com o termo ,
3) somar as duas para ter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, a parte homogênea é
yn+2-10,yn+1+25,yn=0,
A gente monta a equação característica trocando r^2-10r+25=0, por r^2-10r+25=(r-5)^2=0,, :
yn^(h)=(C1 + C2,n),5^n,,
Resolvendo isso, percebemos que

ou seja, raiz dupla .
Quando a gente tem raiz dupla , a solução geral da homogênea é

onde e são constantes que viriam de condições iniciais.

Passo 3

Agora vamos achar uma solução particular yn+2-10,yn+1+25,yn=8cdot3^n, para
yn^(p) = Acdot3^n,,
Como o lado direito é Acdot3^n+2 ;-;10,Acdot3^n+1 ;+;25,Acdot3^n = A(9cdot3^n - 30cdot3^n +25cdot3^n) = Acdot4cdot3^n e 4Acdot3^n = 8cdot3^n Longrightarrow 4A=8 Longrightarrow A=2 não é raiz da característica (que é yn^(p) = 2cdot3^n, ), tentamos
com constante. Substituindo na recorrência:
Lado esquerdo:
Isso tem que ser igual a . Logo,
Então uma solução particular é

Passo 4

A solução geral da recorrência é a soma da homogênea com a particular:
yn = yn^(h) + yn^(p) = (C1 + C2,n),5^n ;+; 2cdot3^n

Resposta

boxedyn = (C1 + C2,n),5^n ;+; 2cdot3^n,
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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