Obtenha a solução geral da equação de recorrência
Passo 1
Beleza, vamos decifrar o que o exercício pede. A gente tem uma recorrência de segunda ordem não homogênea:
O conteúdo aqui é “recorrência linear de coeficientes constantes” com um termo não homogêneo. Para resolver, precisamos:
1) achar a solução geral da parte homogênea (quando o lado direito é zero),
2) encontrar uma solução particular que “casem” com o termo
3) somar as duas para ter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, a parte homogênea é
A gente monta a equação característica trocando
Resolvendo isso, percebemos que
ou seja, raiz dupla
Quando a gente tem raiz dupla
, a solução geral da homogênea é
onde
Passo 3
Agora vamos achar uma solução particular
para
Como o lado direito é
com
constante. Substituindo na recorrência:
Lado esquerdo:
Isso tem que ser igual a
. Logo,
Então uma solução particular é
Passo 4
A solução geral da recorrência é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.