Temos duas prateleiras distintas. De quantas maneiras uma coleção de 40 livros pode ser organizada nessas prateleiras, supondo que a ordem dos livros em cada uma seja relevante? É concebível que uma das prateleiras fique vazia.
Passo 1
Beleza, o problema diz: temos 40 livros distintos e duas prateleiras diferentes. A gente quer contar de quantas maneiras podemos distribuir esses livros entre as duas prateleiras, lembrando que dentro de cada prateleira a ordem importa e que pode acontecer de uma das prateleiras ficar vazia.
Conteúdo: é um problema de contagem em combinatória, envolvendo fatorial, combinação e princípio da soma. Vamos precisar saber o que é fatorial (n!), combinação e como somar casos distintos.
Conteúdo: é um problema de contagem em combinatória, envolvendo fatorial, combinação e princípio da soma. Vamos precisar saber o que é fatorial (n!), combinação
Passo 2
Primeiro, a gente escolhe quantos livros vão na prateleira 1. Seja esse número
. Como uma prateleira pode ficar vazia,
pode variar de 0 até 40.
Passo 3
Para um valor fixo de
:
- Escolher quais
livros vão na prateleira 1: . - Organizar esses
livros numa sequência: . - Os outros
livros automaticamente vão para a prateleira 2 e podem ser organizados de jeitos.
Pelo princípio multiplicativo, para um dadoo total é
Passo 4
Agora, como
pode ser qualquer número de 0 a 40, somamos esses casos:
Mas repara que
independente de
. Então cada termo da soma vale
, e a gente tem
termos (já que
vai de 0 a 40).
Passo 5
Logo, somando
vezes
, o total de arranjos é