Temos duas prateleiras distintas. De quantas maneiras uma coleção de 40 livros pode ser organizada nessas prateleiras, supondo que a ordem dos livros em cada uma seja relevante? É concebível que uma das prateleiras fique vazia.

Passo 1

Beleza, o problema diz: temos 40 livros distintos e duas prateleiras diferentes. A gente quer contar de quantas maneiras podemos distribuir esses livros entre as duas prateleiras, lembrando que dentro de cada prateleira a ordem importa e que pode acontecer de uma das prateleiras ficar vazia.
Conteúdo: é um problema de contagem em combinatória, envolvendo fatorial, combinação e princípio da soma. Vamos precisar saber o que é fatorial (n!), combinação e como somar casos distintos.

Passo 2

Primeiro, a gente escolhe quantos livros vão na prateleira 1. Seja esse número . Como uma prateleira pode ficar vazia, pode variar de 0 até 40.

Passo 3

Para um valor fixo de binom40k;k!;(40-k)! :
  1. Escolher quais livros vão na prateleira 1: .
  2. Organizar esses livros numa sequência: .
  3. Os outros livros automaticamente vão para a prateleira 2 e podem ser organizados de jeitos.
    Pelo princípio multiplicativo, para um dado o total é

Passo 4

Agora, como sumk=0^40 binom40k,k!,(40-k)! pode ser qualquer número de 0 a 40, somamos esses casos:
binom40k,k!,(40-k)! ;=;40!k!,(40-k)!;k!,(40-k)! ;=;40!
Mas repara que
independente de . Então cada termo da soma vale , e a gente tem termos (já que vai de 0 a 40).

Passo 5

Logo, somando 41 times 40! vezes , o total de arranjos é

Resposta

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