Considere os seguintes conjuntos
Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. No caso de ser falsa, reescreva a afirmação de modo a torná-la verdadeira.
Obs:
denota o conjunto das partes de um conjunto
.
Obs:
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Ele dá dois conjuntos
e diz que
Aqui o conteúdo é teoria de conjuntos (conjunto das partes ou “power set”) e cardinalidade. Para resolver vamos precisar saber:
- O que é cardinalidade de um conjunto (quantos elementos ele tem).
- O que é o conjunto das partes
. - A fórmula que liga cardinalidade de
com cardinalidade de .
Passo 2
Primeiro, qual é a cardinalidade de
?
tem estes quatro elementos distintos:
-
-
-
-
Logo
Passo 3
Agora, o que é
?
É o conjunto de todas as partes (subconjuntos) de .
Teorema básico: se um conjunto tem
elementos, então
É o conjunto de todas as partes (subconjuntos) de
Teorema básico: se um conjunto
A explicação rápida: para cada elemento de
você escolhe “está” ou “não está” no subconjunto, e há
possibilidades por elemento, totalizando
combinações.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
Isso mostra que a afirmação original (
) está falsa, pois na verdade
.
Passo 5
Para deixá-la verdadeira, basta trocar o
por
. Assim, a afirmação correta é
Resposta
A afirmação dada é falsa. A forma verdadeira é