Considere os seguintes dados experimentais:
1 2.0
2 3.8
3 5.7
4 8.5
Parte 1 (2.5 ptos)
a) Ajuste uma reta utilizando o método dos mínimos quadrados com equações normais.
b) Apresente os coeficientes a e b.
c) Use o modelo ajustado para estimar .
Parte 2 (2.5 ptos)
a) Determine o polinômio interpolador que passa por esses quatro pontos, utilizando o método de Lagrange.
b) Escreva o polinômio interpolador na forma simbólica expandida.
c) Use o polinômio para estimar f(2.5).
3. (2 ptos) Assinale para verdadeiro ou para falso, justificando brevemente os itens Falso:

Passo 1

Temos quatro pontos (1,2.0), (2,3.8), (3,5.7) e (4,8.5). Na Parte 1 vamos ajustar uma reta
f(x)=a + b x
pelo método dos mínimos quadrados (equações normais). Na Parte 2 vamos encontrar o polinômio interpolador de grau <=3 pelo método de Lagrange e depois estimar f(2,5).

Passo 2

Para a regressão linear calculamos
n=4, sum xi=10, sum yi=20.0, sum xi^2=30, sum xi yi=60.7
As equações normais são
4,a + 10,b = 20.0, 10,a + 30,b = 60.7
Resolvendo, obtemos
b = 2,14, a = -0,35

Passo 3

Usando f(x)=-0,35 + 2,14,x, estimamos
f(2,5) = -0,35 + 2,14cdot2,5 = 5,00

Passo 4

Para Lagrange definimos as bases
L1(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(1-2)(1-3)(1-4),; L2(x) = (x-1)(x-3)(x-4)(2-1)(2-3)(2-4),
L3(x) = (x-1)(x-2)(x-4)(3-1)(3-2)(3-4),; L4(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(4-1)(4-2)(4-3)
O polinômio é
P(x)=2.0,L1(x)+3.8,L2(x)+5.7,L3(x)+8.5,L4(x)

Passo 5

Expandindo e somando os termos chegamos à forma
P(x)=215,x^3 ;-;34,x^2;+;18760,x;-;12

Passo 6

Para x=2,5 temos
P(2,5)=215(2,5)^3-34(2,5)^2+18760(2,5)-12=4,6875

Passo 7

Na Parte 3 o enunciado menciona assinalar verdadeiro ou falso, mas não foram fornecidos os itens a julgar; portanto não é possível resolver essa parte.

Resposta

Parte 1
a) a=-0,35, b=2,14.
b) —
c) f(2,5)=5,00.
Parte 2
a) Polinômio de Lagrange P(x)=2,L1(x)+3.8,L2(x)+5.7,L3(x)+8.5,L4(x).
b) P(x)= 215x^3-34x^2+18760x-12.
c) P(2,5)=4,6875.
Parte 3
Não é possível avaliar pois não foram fornecidos os itens.

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