(3 ptos) Considere o seguinte sistema de equações não lineares:
l f1(x, y)=x y-1=0 f2(x, y)=ln (x)+y-2=0
a) Usando o ponto inicial x- 0=1.5, y- 0=0.5, aplique quatro iterações do método de Newton. A cada iteração mostre o vetor F(x, y), a matriz Jacobiana, o vetor correção De<a x, os valores atualizados de x e y, o valor de |F(x)|2.
b) Qual é o melhor resultado depois de aplicar as quatro iterações.
c) Quais são os critérios de parada que podem ser usados para o método de Newton.

Passo 1

Estamos resolvendo o sistema não linear
usando o método de Newton em quatro iterações a partir de . Vamos precisar montar em cada passo o vetor
a Jacobiana
e resolver
atualizando . Depois calculamos .]

Passo 2

Iteração 1 em (x0,y0)=(1,5,0,5):
F(x0,y0)= 1,5cdot0,5-1[3pt] ln(1,5)+0,5-2 = 0,25[3pt] -1,094535 , J(x0,y0)= 0,5 & 1,5[3pt] 0,666667 & 1
Resolvendo
0,5 & 1,5[3pt] 0,666667 & 1 De<a xDe<a y =-0,25-1,094535
obtém-se
De<a x0=3,783606-1,427869,
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(x1,y1)=(1,5,0,5)+3,783606-1,427869 =(5,283606,,-0,927869)
O resíduo depois da atualização é
F(x1,y1)approx-5,900724-1,262469, |F(x1,y1)|2approx6,03341 ]

Passo 3

Iteração 2 em (x1,y1)=(5,283606,-0,927869):
F=-5,900724-1,262469, J= -0,927869 & 5,283606[3pt] 0,189244 & 1
Resolvendo J,De<a x1=-F
De<a x1=0,3997501,186765, (x2,y2)=(5,683356,,0,258896)
O resíduo é
F(x2,y2)approx0,471330-0,001404, |F(x2,y2)|2approx0,471331 ]

Passo 4

Iteração 3 em (x2,y2)=(5,683356,0,258896):
F=0,471330-0,001404, J= 0,258896 & 5,683356[3pt] 0,175964 & 1
Resolvendo dá
De<a x2=0,647300-0,112497, (x3,y3)=(6,330656,,0,146399)
O resíduo é
F(x3,y3)approx-0,073871-0,008501, |F(x3,y3)|2approx0,074345 ]

Passo 5

Iteração 4 em (x3,y3)=(6,330656,0,146399):
F=-0,073871-0,008501, J= 0,146399 & 6,330656[3pt] 0,157968 & 1
Resolvendo dá
De<a x3=-0,0234700,012212, (x4,y4)=(6,307186,,0,158611)
O resíduo final é
F(x4,y4)approx0,0003270,001011, |F(x4,y4)|2approx0,001068 ]

Resposta

b) Depois de quatro iterações o melhor aproximado é
(x,y)approx(6,307186,;0,158611),
com |F|2approx0,001068.
c) Critérios de parada típicos no método de Newton:
  • |F(xk,yk)|2<varepsilon (resíduo pequeno).
  • |De<a xk|2<varepsilon (passo pequeno).
  • |(xk+1,yk+1)-(xk,yk)|<varepsilon (convergência de iterados).
  • número máximo de iterações atingido.

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