Considere as seguintes EDOs de ordem alta. Reescreva elas como sistemas de equações de primeira ordem.
(b) x y^prime prime-y^prime+x^2 y=x^3

Passo 1

O enunciado pede para converter a EDO de segunda ordem
x,y'' - y' + x^2y = x^3
num sistema equivalente de equações de primeira ordem. O conteúdo aqui é o método geral de redução de ordem: introduzir variáveis de estado para cada derivada até a ordem n-1.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
y1(x) = y(x), y2(x) = y'(x)
Logo, por definição, temos
y1'(x) = y2(x),
y2'(x) = y''(x)

Passo 3

Isolamos y'' na equação original:
x,y'' - y' + x^2y = x^3
Longrightarrow x,y'' = y' - x^2y + x^3
Longrightarrow y'' = y' - x^2y + x^3x

Passo 4

Substituímos y1 e y2 em y'':
y2'(x) = y2(x) - x^2,y1(x) + x^3x = 1x,y2(x) ;-; x,y1(x) ;+; x^2
Portanto o sistema de primeira ordem fica:
y1'(x) = y2(x), y2'(x) = 1x,y2(x) - x,y1(x) + x^2

Resposta

y1' = y2, y2' = dfrac1x,y2 - x,y1 + x^2

Exercícios relacionados