Faz decomposição campo v para campo potencial e campo solenoidal v=vp+vs e acha escalar phi e vectorial A potenciais:
v=(y sen x, y sen z, z sen y)

Passo 1

Beleza! O problema pede para fazer a decomposição de Helmholtz de

ou seja, escrever
vec v ;=;underbracenablaphicampo potencial ;+;underbracenablatimesvec Acampo so<=noidal
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial: vamos usar as noções de divergência, rotacional e a fórmula integral (com funções de Green) para achar os potenciais (escalar) e (vetorial).

Passo 2

Primeiro, calculamos a divergência de nablacdotvec v =partialpartial x(ysen x) +partialpartial y(ysen z) +partialpartial z(zsen y) , pois ela gera o potencial escalar nablacdotvec v = ycos x + sen z + sen y . Lembra que
Derivando termo a termo:
  • ,
  • (pois é constante em relação a ),
  • .
    Logo

Passo 3

Agora precisamos do rotacional de nablatimesvec v =l(partialy vz-partialz vy,;partialz vx-partialx vz,;partialx vy-partialy vxr) , porque ele entra na fórmula do potencial vetorial nablatimesvec v =l(zcos y - ycos z,;0,;-sen xr) . Recorde:
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente :
  2. Componente :

    pois não depende de e não depende de .
  3. Componente :

    Logo

Passo 4

A fórmula geral da decomposição de Helmholtz (em todo phi( r) =14piintegral R^3 nabla'!cdotvec v( r') | r- r'|,d^3r', vec A( r) =14piintegral R^3 nabla'!timesvec v( r') | r- r'|,d^3r' , assumindo decaimento adequado no infinito) diz:
Aqui e . Essas integrais resolvem as equações de Poisson
e .

Resposta

Os potenciais de Helmholtz ficam dados por
Pronto! Esses dois integram a divergência e o rotacional de boxed phi(x,y,z) =14pi integral R^3 y'cos x' +sen z' +sen y' raiz(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2;d^3r', para formar o campo potencial boxed vec A(x,y,z) =14pi integral R^3 l(z'cos y'-y'cos z',;0,;-sen x'r) raiz(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2;d^3r' e o solenoidal .

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