Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (1, 2), (3, 7) e (5, 15). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(4).
(a) 10,2
(b) 11,6
(c) 12,3
(d) 13,0
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado dá três pontos do plano cartesiano: (1,2), (3,7) e (5,15). Ele pede duas coisas: encontrar o polinômio p que interpola esses três pontos pelo método de Lagrange e então calcular o valor p(4). Todas as informações relevantes são os três pares (x,y) acima.

Passo 2

Vou explicar o método de interpolação de Lagrange de forma direta e prática. Se temos três pontos com abscissas \,x_0,x_1,x_2 e ordenadas \,y_0,y_1,y_2, o polinômio interpolador de grau \le 2 é
p(x)=y_0 L_0(x)+y_1 L_1(x)+y_2 L_2(x),
onde cada polinômio base de Lagrange L_j(x) é construído para valer 1 em x_j e 0 nos outros x-dados. A fórmula geral é
L_j(x)=\prod_{\substack{m=0\m\neq j}}^{2}\frac{x-x_m}{x_j-x_m}.
Aqui x é a variável onde avaliamos o polinômio; x_j e x_m são as abscissas dos pontos dados; o numerador faz o zero nas abscissas distintas de x_j e o denominador normaliza para L_j(x_j)=1. É assim que garantimos que p(x_j)=y_j para cada j.

Passo 3

Identifico os dados como
x_0=1,\; y_0=2;\qquad x_1=3,\; y_1=7;\qquad x_2=5,\; y_2=15.
Agora calculo os denominadores necessários em cada L_j:
(x_0-x_1)(x_0-x_2)=(1-3)(1-5)=(-2)(-4)=8,
(x_1-x_0)(x_1-x_2)=(3-1)(3-5)=(2)(-2)=-4,
(x_2-x_0)(x_2-x_1)=(5-1)(5-3)=(4)(2)=8.

Passo 4

Escrevo explicitamente os polinômios de base L_j(x) usando os resultados do passo anterior:
L_0(x)=\frac{(x-3)(x-5)}{8},
L_1(x)=\frac{(x-1)(x-5)}{-4}=-\frac{(x-1)(x-5)}{4},
L_2(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{8}.

Passo 5

Agora monto p(x) pela fórmula de Lagrange:
p(x)=2\cdot L_0(x)+7\cdot L_1(x)+15\cdot L_2(x).
Substituindo as expressões:
p(x)=2\cdot\frac{(x-3)(x-5)}{8}+7\cdot\Big(-\frac{(x-1)(x-5)}{4}\Big)+15\cdot\frac{(x-1)(x-3)}{8}.

Passo 6

Faço as simplificações passo a passo. Primeiro reduzindo frações:
Termo 1:
2\cdot\frac{(x-3)(x-5)}{8}=\frac{(x-3)(x-5)}{4}.
Expandindo (x-3)(x-5)=x^2-8x+15, obtemos
\text{termo}_1=\frac{x^2-8x+15}{4}.
Termo 2:
7\cdot\Big(-\frac{(x-1)(x-5)}{4}\Big)=-\frac{7}{4}(x-1)(x-5).
Expandindo (x-1)(x-5)=x^2-6x+5, obtemos
\text{termo}_2=-\frac{7x^2-42x+35}{4}=\frac{-7x^2+42x-35}{4}.
Termo 3:
15\cdot\frac{(x-1)(x-3)}{8}=\frac{15}{8}(x^2-4x+3)=\frac{15x^2-60x+45}{8}.

Passo 7

Somando os três termos com denominador comum 8: converto os dois primeiros para denominar por 8:
\text{termo}_1=\frac{2x^2-16x+30}{8},\qquad \text{termo}_2=\frac{-14x^2+84x-70}{8}.
Somando numeradores:
(2x^2-16x+30)+(-14x^2+84x-70)+(15x^2-60x+45)=3x^2+8x+5.
Portanto
p(x)=\frac{3x^2+8x+5}{8}.

Passo 8

Como verificação rápida, confiro que p realmente passa pelos pontos dados:
p(1)=\frac{3+8+5}{8}=\frac{16}{8}=2,
p(3)=\frac{27+24+5}{8}=\frac{56}{8}=7,
p(5)=\frac{75+40+5}{8}=\frac{120}{8}=15.
Tudo certo — o polinômio está correto.

Passo 9

Agora calculo p(4). Substituo x=4 em p(x)=\dfrac{3x^2+8x+5}{8}:
p(4)=\frac{3\cdot 4^2+8\cdot 4+5}{8}=\frac{3\cdot16+32+5}{8}=\frac{48+32+5}{8}=\frac{85}{8}.
Convertendo para decimal, \dfrac{85}{8}=10{,}625.

Resposta

\dfrac{85}{8}=10{,}625

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