Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (1, 2), (3, 7) e (5, 15). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(4).
(a) 10,2
(b) 11,6
(c) 12,3
(d) 13,0
(e) Não sei
(a) 10,2
(b) 11,6
(c) 12,3
(d) 13,0
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado dá três pontos do plano cartesiano:
,
e
. Ele pede duas coisas: encontrar o polinômio
que interpola esses três pontos pelo método de Lagrange e então calcular o valor
. Todas as informações relevantes são os três pares
acima.
Passo 2
Vou explicar o método de interpolação de Lagrange de forma direta e prática. Se temos três pontos com abscissas
e ordenadas
, o polinômio interpolador de grau
é
onde cada polinômio base de Lagrange
é construído para valer
em
e
nos outros
-dados. A fórmula geral é
Aqui
é a variável onde avaliamos o polinômio;
e
são as abscissas dos pontos dados; o numerador faz o zero nas abscissas distintas de
e o denominador normaliza para
. É assim que garantimos que
para cada
.
Passo 3
Identifico os dados como
Agora calculo os denominadores necessários em cada
:
Passo 4
Escrevo explicitamente os polinômios de base
usando os resultados do passo anterior:
Passo 5
Agora monto
pela fórmula de Lagrange:
Substituindo as expressões:
Passo 6
Faço as simplificações passo a passo. Primeiro reduzindo frações:
Termo 1:
Expandindo
, obtemos
Termo 2:
Expandindo
, obtemos
Termo 3:
Passo 7
Somando os três termos com denominador comum
: converto os dois primeiros para denominar por
:
Somando numeradores:
Portanto
Passo 8
Como verificação rápida, confiro que
realmente passa pelos pontos dados:
Tudo certo — o polinômio está correto.
Passo 9
Agora calculo
. Substituo
em
:
Convertendo para decimal,
.