questão: Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (-2, -1), (1,4) e (3, 10). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(0).
(a) 1,1
(b) 2,4
(c) 3,0
(d) 3,7
(e) Não sei
(a) 1,1
(b) 2,4
(c) 3,0
(d) 3,7
(e) Não sei
Passo 1
O enunciado dá três pontos do plano cartesiano:
,
e
. Pede para encontrar o polinômio
usando o método de interpolação de Lagrange e, em seguida, determinar
. As informações relevantes são:
Passo 2
Explicando o método (passo-a-passo, sem pressa): para três pontos com abscissas distintas existe um único polinômio de grau no máximo 2 que passa por eles. A fórmula de Lagrange para três pontos é
onde cada polinômio base
é definido por
Aqui
e
são as abscissas dos pontos;
vale
em
e
em
para
. Isso garante que
.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula às nossas abscissas. Reescrevendo:
Passo 4
Calcular
. Pela definição,
Agora os denominadores numéricos:
Portanto
Passo 5
Calcular
:
Numeradores/denominadores:
Logo
Passo 6
Calcular
:
Numeradores/denominadores:
Portanto
Passo 7
Agora montamos
pela soma ponderada:
Substituindo
e
:
Passo 8
Simplificar termo a termo. Primeiro escrevo cada termo de forma mais direta:
Somando:
Passo 9
Expandir cada produto para colocar
em forma polinomial padrão. Primeiro expandir os quadrados:
Agora aplicar os coeficientes:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Somando numeradores:
Assim
Passo 10
Checagem rápida (para ficar seguro): avaliar
nos abscissas dadas para confirmar.
Tudo consistente.
Passo 11
Agora calculamos
substituindo
em
:
Passo 12
Comparando com as alternativas fornecidas:
(a) \quad (b)
\quad (c)
\quad (d)
.
O valor que obtivemos é , que não coincide com (a)–(d). Dado que havia uma opção (e) “Não sei”, a resposta correta entre as alternativas dadas é a que indica que nenhuma das anteriores corresponde ao resultado.
(a)
O valor que obtivemos é
Resposta
(e) Não sei