2{ }^{\text {a }} questão: Considere os seguintes pontos do plano cartesiano: (-2, -1), (1,4) e (3, 10). Encontre o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange. Determine p(0).
(a) 1,1
(b) 2,4
(c) 3,0
(d) 3,7
(e) Não sei

Passo 1

O enunciado dá três pontos do plano cartesiano: (-2,-1), (1,4) e (3,10). Pede para encontrar o polinômio p usando o método de interpolação de Lagrange e, em seguida, determinar p(0). As informações relevantes são:
(x_0,y_0)=(-2,-1),\quad (x_1,y_1)=(1,4),\quad (x_2,y_2)=(3,10).

Passo 2

Explicando o método (passo-a-passo, sem pressa): para três pontos com abscissas distintas existe um único polinômio de grau no máximo 2 que passa por eles. A fórmula de Lagrange para três pontos é
p(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,L_i(x),
onde cada polinômio base L_i(x) é definido por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Aqui x_i e x_j são as abscissas dos pontos; L_i(x) vale 1 em x=x_i e 0 em x=x_j para j\ne i. Isso garante que p(x_i)=y_i.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula às nossas abscissas. Reescrevendo:
x_0=-2,\; y_0=-1;\qquad x_1=1,\; y_1=4;\qquad x_2=3,\; y_2=10.

Passo 4

Calcular L_0(x). Pela definição,
L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\frac{(x-1)(x-3)}{(-2-1)(-2-3)}.
Agora os denominadores numéricos:
(-2-1)=-3,\quad (-2-3)=-5,\quad (-3)(-5)=15.
Portanto
L_0(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{15}.

Passo 5

Calcular L_1(x):
L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=\frac{(x+2)(x-3)}{(1-(-2))(1-3)}.
Numeradores/denominadores:
1-(-2)=3,\quad 1-3=-2,\quad 3\cdot(-2)=-6.
Logo
L_1(x)=\frac{(x+2)(x-3)}{-6}=-\frac{(x+2)(x-3)}{6}.

Passo 6

Calcular L_2(x):
L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\frac{(x+2)(x-1)}{(3-(-2))(3-1)}.
Numeradores/denominadores:
3-(-2)=5,\quad 3-1=2,\quad 5\cdot2=10.
Portanto
L_2(x)=\frac{(x+2)(x-1)}{10}.

Passo 7

Agora montamos p(x) pela soma ponderada:
p(x)=y_0L_0(x)+y_1L_1(x)+y_2L_2(x).
Substituindo y_i e L_i(x):
p(x) = -1\cdot\frac{(x-1)(x-3)}{15} + 4\cdot\left(-\frac{(x+2)(x-3)}{6}\right) + 10\cdot\frac{(x+2)(x-1)}{10}.

Passo 8

Simplificar termo a termo. Primeiro escrevo cada termo de forma mais direta:
\begin{aligned} T_1&=-\frac{(x-1)(x-3)}{15},\\[4pt] T_2&=4\cdot\left(-\frac{(x+2)(x-3)}{6}\right)=-\frac{4}{6}(x+2)(x-3)=-\frac{2}{3}(x+2)(x-3),\\[4pt] T_3&=10\cdot\frac{(x+2)(x-1)}{10}=(x+2)(x-1). \end{aligned}
Somando:
p(x)=-\frac{(x-1)(x-3)}{15}-\frac{2}{3}(x+2)(x-3)+(x+2)(x-1).]

Passo 9

Expandir cada produto para colocar p(x) em forma polinomial padrão. Primeiro expandir os quadrados:
\begin{aligned} (x-1)(x-3)&=x^2-4x+3,\\\ (x+2)(x-3)&=x^2-x-6,\\\ (x+2)(x-1)&=x^2+x-2. \end{aligned}
Agora aplicar os coeficientes:
\begin{aligned} T_1&=-\frac{x^2-4x+3}{15}=\frac{-x^2+4x-3}{15},\\[4pt] T_2&=-\frac{2}{3}(x^2-x-6)=\frac{-2x^2+2x+12}{3},\\[4pt] T_3&=x^2+x-2=\frac{15x^2+15x-30}{15}. \end{aligned}
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 15:
\begin{aligned} T_1&=\frac{-x^2+4x-3}{15},\\\ T_2&=\frac{-10x^2+10x+60}{15}\quad\text{(multiplicando numerador/denom }\times5),\\\ T_3&=\frac{15x^2+15x-30}{15}. \end{aligned}
Somando numeradores:
(-x^2)+(-10x^2)+(15x^2)=4x^2,
4x+10x+15x=29x,
-3+60-30=27.
Assim
p(x)=\frac{4x^2+29x+27}{15}.]

Passo 10

Checagem rápida (para ficar seguro): avaliar p nos abscissas dadas para confirmar.
p(1)=\frac{4+29+27}{15}=\frac{60}{15}=4\quad(\text{confere }y_1),
p(3)=\frac{4\cdot9+29\cdot3+27}{15}=\frac{150}{15}=10\quad(\text{confere }y_2),
p(-2)=\frac{4\cdot4+29\cdot(-2)+27}{15}=\frac{-15}{15}=-1\quad(\text{confere }y_0).
Tudo consistente.

Passo 11

Agora calculamos p(0) substituindo x=0 em p(x):
p(0)=\frac{4\cdot0^2+29\cdot0+27}{15}=\frac{27}{15}=\frac{9}{5}=1{,}8.

Passo 12

Comparando com as alternativas fornecidas:
(a) 1{,}1 \quad (b) 2{,}4 \quad (c) 3{,}0 \quad (d) 3{,}7.
O valor que obtivemos é 1{,}8, que não coincide com (a)–(d). Dado que havia uma opção (e) “Não sei”, a resposta correta entre as alternativas dadas é a que indica que nenhuma das anteriores corresponde ao resultado.

Resposta

(e) Não sei

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