(a) Verifique se as matrizes são diagonalmente dominante por linhas ( ou critério Sassenfeld) e conclua sobre a convergência dos métodos iterativos.
(b) Aplique duas iterações completas do método de Gauss-Jacobi com chute inicial x^(0)=[lll0, & 0, & 0]^T. Mostre todos os cálculos intermediários.
(c) Aplique duas iterações completas do método de Gauss-Seidel com o mesmo chute inicial. Compare o progresso em relação à solução exata:
x exato =[c 1.5 -1.5 2 ]
Passo 1
O enunciado traz dois sistemas lineares em três incógnitas, pede (a) verificar dominância diagonal (ou usar critério de Sassenfeld) e concluir sobre a convergência de métodos iterativos, (b) fazer duas iterações de Gauss–Jacobi partindo de x^(0)=(0,0,0)^T e (c) duas iterações de Gauss–Seidel com o mesmo chute, comparando com a solução exata xrm exato=(1,5,-1,5,2)^T. O conteúdo é métodos iterativos para sistemas lineares e critérios de convergência.
logo é estritamente diagonally dominante por linhas e, portanto, tanto Gauss–Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem.
Passo 4
Conclusão do item (a):
Sistema A não satisfaz dominância nem Sassenfeld (Rightarrow métodos iterativos podem divergir).
Sistema B é estritamente dominante (Rightarrow Jacobi e Seidel convergem).
Passo 5
Duas iterações de Gauss–Jacobi para o Sistema B. As fórmulas são
Portanto, após duas iterações, Gauss–Seidel está mais próximo da solução exata que Gauss–Jacobi.
Resposta
(a) Sistema A não é dominantes (ou Sassenfeld falha) Rightarrow métodos iterativos podem divergir; Sistema B é estritamente diagonally dominante Rightarrow Jacobi e Seidel convergem.
(b) Gauss–Jacobi: x^(1)=(1,75,,-0,6,,1,333333)^T, x^(2)=(1,566667,,-1,483333,,1,241667)^T.
(c) Gauss–Seidel: x^(1)=(1,75,,-0,95,,1,358333)^T, x^(2)=(1,647917,,-1,472917,,1,549653)^T.
Gauss–Seidel apresenta menor erro infinito que Gauss–Jacobi após duas iterações.