Considere os seguintes sistemas lineares:
(Sistema A) l 2 x 1 + x 2 - x 3 = 8 - 3 x 1 - x 2 + 2 x 3 = - 1 1 - 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 = - 3 e (Sistema B) l 4 x1+x2+x3=7 x1+5 x2+2 x3=-3 x1+2 x2+6 x3=8
(a) Verifique se as matrizes são diagonalmente dominante por linhas ( ou critério Sassenfeld) e conclua sobre a convergência dos métodos iterativos.
(b) Aplique duas iterações completas do método de Gauss-Jacobi com chute inicial x^(0)=[lll0, & 0, & 0]^T. Mostre todos os cálculos intermediários.
(c) Aplique duas iterações completas do método de Gauss-Seidel com o mesmo chute inicial. Compare o progresso em relação à solução exata:
x exato =[c 1.5 -1.5 2 ]

Passo 1

O enunciado traz dois sistemas lineares em três incógnitas, pede (a) verificar dominância diagonal (ou usar critério de Sassenfeld) e concluir sobre a convergência de métodos iterativos, (b) fazer duas iterações de Gauss–Jacobi partindo de x^(0)=(0,0,0)^T e (c) duas iterações de Gauss–Seidel com o mesmo chute, comparando com a solução exata xrm exato=(1,5,-1,5,2)^T. O conteúdo é métodos iterativos para sistemas lineares e critérios de convergência.

Passo 2

Analisando o Sistema A
2x1+x2-x3=8, -3x1-x2+2x3=-11, -2x1+x2+2x3=-3,
linha a linha, a dominância absoluta é
|a11|=2,|a12|+|a13|=1+1=2(não estrita), ã
|a22|=1,|a21|+|a23|=3+2=5;(falha),
|a33|=2,|a31|+|a32|=2+1=3;(falha)
Tenta Sassenfeld:
beta1=1+12=1, beta2=3beta1+21=5, beta3=2beta1+1beta22=2+52=3,5,
como maxbetai>1, não há convergência garantida.

Passo 3

Analisando o Sistema B
4x1+x2+x3=7, x1+5x2+2x3=-3, x1+2x2+6x3=8,
verifica-se
|a11|=4>1+1=2, |a22|=5>1+2=3, |a33|=6>1+2=3,
logo é estritamente diagonally dominante por linhas e, portanto, tanto Gauss–Jacobi quanto Gauss–Seidel convergem.

Passo 4

Conclusão do item (a):
Sistema A não satisfaz dominância nem Sassenfeld ( Rightarrow métodos iterativos podem divergir).
Sistema B é estritamente dominante ( Rightarrow Jacobi e Seidel convergem).

Passo 5

Duas iterações de Gauss–Jacobi para o Sistema B. As fórmulas são
x1^(k+1)=7 - x2^(k) - x3^(k)4, x2^(k+1)=-3 - x1^(k) - 2x3^(k)5, x3^(k+1)=8 - x1^(k) - 2x2^(k)6
Com x^(0)=(0,0,0)^T:
x1^(1)=7-0-04=74=1,75, x2^(1)=-3-0-05=-35=-0,6, x3^(1)=8-0-06=43approx1,333333
Para a segunda iteração, usa-se x^(1):
x1^(2)=7 - (-0,6) - 1,3333334 =7,6 - 1,3333334 =6,2666674=1,566667,
x2^(2)=-3 - 1,75 - 2cdot1,3333335 =-3 -1,75 -2,6666675 =-7,4166675=-1,483333,
x3^(2)=8 - 1,75 - 2cdot(-0,6)6 =8 -1,75 +1,26 =7,456=1,241667

Passo 6

Duas iterações de Gauss–Seidel para o Sistema B. As fórmulas são as mesmas, mas usa-se atualização imediata:
Iteração 1 ( x^(0)=(0,0,0)):
x1^(1)=7 - 0 - 04=1,75, x2^(1)=-3 - 1,75 -2cdot05=-4,755=-0,95,
x3^(1)=8 - 1,75 -2cdot(-0,95)6 =8 -1,75 +1,96 =8,156=1,358333
Iteração 2, aproveitando x1^(1),x2^(1),x3^(1):
x1^(2)=7 -(-0,95) -1,3583334 =7,95 -1,3583334 =6,5916674=1,647917,
x2^(2)=-3 -1,647917 -2cdot1,3583335 =-3 -1,647917 -2,7166675 =-7,3645845=-1,472917,
x3^(2)=8 -1,647917 -2cdot(-1,472917)6 =8 -1,647917 +2,9458346 =9,2979176=1,549653

Passo 7

Comparando o vetor da iteração 2 com xrm exato=(1,5,,-1,5,,2)^T:
Gauss–Jacobi:
x^(2)rm J=(1,566667,,-1,483333,,1,241667)^T, |e|infty=max(|0,066667|,|0,016667|,|0,758333|)=0,758333
Gauss–Seidel:
x^(2)rm S=(1,647917,,-1,472917,,1,549653)^T, |e|infty=max(|0,147917|,|0,027083|,|0,450347|)=0,450347
Portanto, após duas iterações, Gauss–Seidel está mais próximo da solução exata que Gauss–Jacobi.

Resposta

(a) Sistema A não é dominantes (ou Sassenfeld falha) Rightarrow métodos iterativos podem divergir; Sistema B é estritamente diagonally dominante Rightarrow Jacobi e Seidel convergem.
(b) Gauss–Jacobi:
x^(1)=(1,75,,-0,6,,1,333333)^T,
x^(2)=(1,566667,,-1,483333,,1,241667)^T.
(c) Gauss–Seidel:
x^(1)=(1,75,,-0,95,,1,358333)^T,
x^(2)=(1,647917,,-1,472917,,1,549653)^T.
Gauss–Seidel apresenta menor erro infinito que Gauss–Jacobi após duas iterações.

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