Considere o seguinte sistema linear dado pelas matriz A e vetor b :
A=[ccc 2 & 1 & -1 -3 & -1 & 2 -2 & 1 & 2 ], b=[c 8 -11 -3 ]
Resolva o sistema A x=b utilizando os seguintes métodos:
(a) Eliminação Gaussiana (escalonamento com retrosubstituição)
(b) Decomposição LU (sem pivoteamento e com o pivoteamento)
(c) Classifique o condicionamento da matriz A através do número de condição kappa(A)=|A|2 cdot|A^-1|2, indicando se ela é bem condicionada, moderadamente condicionada ou mal condicionada.
Para cada método, apresente todos os cálculos intermediários realizados e conclua com a solução encontrada.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
Ax=b, A= 2 & 1 & -1 -3 & -1 & 2 -2 & 1 & 2 ,; b=8-11-3
usando
(a) eliminação gaussiana com retro-substituição,
(b) decomposição LU sem pivoteamento e com pivoteamento parcial,
(c) cálculo do número de condição kappa2(A) para classificar o condicionamento.
Vamos usar escalonamento, algoritmo de Doolittle, pivoteamento parcial e norma espectral.

Passo 2

Eliminação Gaussiana:
Montamos a matriz aumentada e aplicamos operações de linha para triangularizar.
[ccc|c 2 & 1 & -1 & 8 -3 & -1 & 2 & -11 -2 & 1 & 2 & -3 ]
1) R 2 R 2+ tfrac32 cdotR 1, R 3 R 3+1cdotR 1
tfrac32R1=(3,;1.5,;-1.5,;12), R2rm novo=(0,;0.5,;0.5,;1)
R1=(2,1,-1,8), R3rm novo=(0,2,1,5)
Agora:
[ccc|c 2 & 1 & -1 & 8 0 & 0.5 & 0.5 & 1 0 & 2 & 1 & 5 ]
2) Eliminar em R 3: R 3 R 3 - 4cdotR 2 (pois 2/0.5=4)
4R2=(0,2,2,4), R3rm novo=(0,0,-1,1)
Ficamos com
[ccc|c 2 & 1 & -1 & 8 0 & 0.5 & 0.5 & 1 0 & 0 & -1 & 1 ]
Retro-substituição:
– Da 3ª linha: -z=1 implies z=-1.
– Da 2ª: tfrac12,y+tfrac12,z=1 implies tfrac12y-tfrac12=1 implies y=3.
– Da 1ª: 2x+y - z=8 implies 2x+3+1=8 implies x=2.
Logo x=(2,3,-1)^T.

Passo 3

Decomposição LU sem pivoteamento (Doolittle):
1) Primeiro pivô:
U11=2,;U12=1,;U13=-1,; L21=-tfrac32,;L31=-1
2) Elementos restantes de U:
U22=A22-L21U12=-1-(-tfrac32)cdot1=tfrac12, U23=2-(-tfrac32)(-1)=tfrac12
3) Elementos restantes de L e U:
L32=A32-L31U12U22 =1-(-1)cdot1tfrac12=4, U33=A33-L31U13-L32U23 =2-(-1)(-1)-4cdottfrac12=-1
Resultado:
L= 1 &0 &0 -tfrac32&1&0 -1&4&1 , U= 2&1&-1 0&tfrac12&tfrac12 0&0&-1
Resolvemos Ly=b:
y1=8, y2=-11-(-tfrac32)cdot8=1, y3=-3-(-1)cdot8-4cdot1=1
Depois Ux=y:
-1cdot z=1implies z=-1,;tfrac12x2+tfrac12z=1implies x2=3,; 2x1+x2-z=8implies x1=2
Confirma x=(2,3,-1)^T.

Passo 4

Decomposição LU com pivoteamento parcial PA=LU:
1) Pivô máximo na 1ª coluna é -3, trocamos R 1 rightarrowR 2.
P=0&1&01&0&00&0&1, PA=-3&-1&22&1&-1-2&1&2
2) Fatoramos:
U11=-3,;L21=-tfrac23,;L31=tfrac23, ;U12=-1,;U13=2
U22=1-(-tfrac23)(-1)=tfrac13, U23=-1-(-tfrac23)cdot2=tfrac13
L32=1-(tfrac23)(-1)tfrac13=5, U33=2-(tfrac23)cdot2-5cdottfrac13=-1
L= 1&0&0 -tfrac23&1&0 tfrac23&5&1 , U= -3&-1&2 0&tfrac13&tfrac13 0&0&-1
Resolvendo Ly=Pb com Pb=(-11,8,-3)^T:
y1=-11,; y2=8-(-tfrac23)(-11)=tfrac23,; y3=-3-(tfrac23)(-11)-5cdottfrac23=1
E em Ux=y obtém-se novamente x=(2,3,-1)^T.

Passo 5

Cálculo de kappa2(A)=|A|2,|A^-1|2=sigmamax/sigmamin:
1) Montamos
A^TA= 17&3&-12 3&3&-1 -12&-1&9
2) Seus autovalores são aproximadamente
lambda1approx26,05,;lambda2approx2,94,;lambda3approx0,013.
3) Valores singulares
sigmai=raizlambdaiapprox5,10,;1,72,;0,11.
4)
kappa2(A)=5,100,11approx44,8

Passo 6

Classificação do condicionamento:
Como 10<kappa2(A)<10^3, dizemos que A é moderadamente condicionada.

Resposta

(a) Pela eliminação gaussiana:
x=(2,3,-1)^T.
(b) Pela decomposição LU sem pivoteamento:
x=(2,3,-1)^T com
L= 1 & 0 & 0 -tfrac32 &1&0 -1 & 4 &1 , U= 2&1&-1 0&tfrac12&tfrac12 0&0&-1
Pela decomposição LU com pivoteamento parcial:
x=(2,3,-1)^T com
P= 0&1&0 1&0&0 0&0&1 ,; L= 1&0&0 -tfrac23&1&0 tfrac23&5&1 ,; U= -3&-1&2 0&tfrac13&tfrac13 0&0&-1
(c) kappa2(A)approx44,8, ou seja, A é moderadamente condicionada.

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