Considere o seguinte sistema linear dado pelas matriz e vetor :
Resolva o sistema A x=b utilizando os seguintes métodos:
(a) Eliminação Gaussiana (escalonamento com retrosubstituição)
(b) Decomposição LU (sem pivoteamento e com o pivoteamento)
(c) Classifique o condicionamento da matriz A através do número de condição kappa(A)=|A|2 cdot|A^-1|2, indicando se ela é bem condicionada, moderadamente condicionada ou mal condicionada.
Para cada método, apresente todos os cálculos intermediários realizados e conclua com a solução encontrada.
usando
(a) eliminação gaussiana com retro-substituição,
(b) decomposição LU sem pivoteamento e com pivoteamento parcial,
(c) cálculo do número de condição kappa2(A) para classificar o condicionamento.
Vamos usar escalonamento, algoritmo de Doolittle, pivoteamento parcial e norma espectral.
Passo 2
Eliminação Gaussiana:
Montamos a matriz aumentada e aplicamos operações de linha para triangularizar.
Cálculo de kappa2(A)=|A|2,|A^-1|2=sigmamax/sigmamin: 1) Montamos
A^TA= 17&3&-12 3&3&-1 -12&-1&9
2) Seus autovalores são aproximadamente lambda1approx26,05,;lambda2approx2,94,;lambda3approx0,013. 3) Valores singulares sigmai=raizlambdaiapprox5,10,;1,72,;0,11. 4)
kappa2(A)=5,100,11approx44,8
Passo 6
Classificação do condicionamento:
Como 10<kappa2(A)<10^3, dizemos que A é moderadamente condicionada.
Resposta
(a) Pela eliminação gaussiana: x=(2,3,-1)^T.
(b) Pela decomposição LU sem pivoteamento: x=(2,3,-1)^T com