Determine um intervalo que contenha uma única raiz do polinômio f(x)= x^3-x+3. Mostre que varphi(x)=raiz[3]x-3 pode ser usada como função auxiliar em um método de ponto fixo e use-a para calcular essa raiz, com precisões varepsilon1=varepsilon2=10^-2. Depois compare com o método da Bisseção e de NewtonRaphson.

Passo 1

O enunciado pede:
– Encontrar um intervalo que contém exatamente uma raiz de
f(x)=x^3-x+3
– Mostrar que
varphi(x)=raiz[3],x-3,
pode servir de função de iteração de ponto-fixo para essa raiz.
– Calcular a raiz por ponto-fixo até as precisões
varepsilon1=varepsilon2=10^-2.
– Comparar essa iteração com o método da bisseção e o de Newton–Raphson.
Conteúdo principal: uso do Teorema do Valor Intermediário e Convergência de iteração de ponto-fixo, mais comparação com bisseção e Newton.

Passo 2

Usamos o Teorema do Valor Intermediário em [-2,-1]. Calculamos
f(-2)=(-2)^3-(-2)+3=-8+2+3=-3, f(-1)=(-1)^3-(-1)+3=-1+1+3=3
Como f(-2)cdot f(-1)<0, existe pelo menos uma raiz em (-2,-1). Para ver que é única, note que
f'(x)=3x^2-1>0em [-2,-1],
pois em todo o intervalo 3x^2>=3>1. Logo f é estritamente crescente em [-2,-1] e tem exatamente uma raiz aí.

Passo 3

Reescrevemos f(x)=0 como
x^3-x+3=0 Longrightarrow x^3=x-3 Longrightarrow x=raiz[3],x-3,=varphi(x)
Verificamos que varphi leva [-2,-1] em si mesmo:
varphi(-2)=raiz[3]-5approx-1,71, varphi(-1)=raiz[3]-4approx-1,59,
e -1,71,,-1,59in[-2,-1].
Para garantir convergência, checamos o fator de contração:
varphi'(x)=13(x-3)^-2/3,
e em xin[-2,-1] o mínimo de lvert x-3rvert é 4, logo
max[-2,-1]lvertvarphi'(x)rvert =13,4^-2/3approx0,13<1
Assim varphi é contração em [-2,-1] e há convergência única ao ponto-fixo.

Passo 4

Definimos xn+1=varphi(xn) e escolhemos x0=-2. Iteramos até que
lvert xn+1-xnrvert<10^-2 e lvert f(xn)rvert<10^-2.
Cálculos aproximados:
x1&=raiz[3]-2-3=raiz[3]-5approx-1,71, x2&=raiz[3]-1,71-3=raiz[3]-4,71approx-1,672, x3&=raiz[3]-1,672-3=raiz[3]-4,672approx-1,673
Diferenças e resíduos:
lvert x2-x1rvertapprox0,038>10^-2, lvert x3-x2rvertapprox0,001<10^-2,
lvert f(x2)rvertapprox6times10^-3<10^-2, lvert f(x3)rvertapprox9times10^-3<10^-2
Logo paramos em x3approx-1,673 com ambas as precisões satisfeitas, em 3 iterações.

Passo 5

No método da bisseção em [-2,-1], a largura do intervalo após n iterações é
(b-a)/2^n=1/2^n
Para garantir erro em x menor que 10^-2 precisamos
12^n<10^-2 Longrightarrow 2^n>100 Longrightarrow n>=7
Após 7 iterações obtemos
x7=-1,671875,
e de fato lvert f(x7)rvertapprox5times10^-4<10^-2. Portanto são necessárias 7 iterações.

Passo 6

No método de Newton–Raphson usamos
xn+1 =xn-f(xn)f'(xn), f'(x)=3x^2-1
Com palpite inicial x0=-1,5:
x1&=-1,5-1,1255,75approx-1,6957, x2&=-1,6957--0,18237,628approx-1,6718, x3&=-1,6718--0,00427,385approx-1,6712
Verificamos
lvert x2-x1rvertapprox0,024>10^-2,
lvert x3-x2rvertapprox0,0006<10^-2,
e lvert f(x2)rvert<10^-2, lvert f(x3)rvert<10^-2.
Logo paramos em x3approx-1,6712 em 3 iterações.

Passo 7

Comparando números de iterações até varepsilon=10^-2:
– Ponto-fixo com varphi(x): 3 iterações.
– Bisseção: 7 iterações.
– Newton–Raphson: 3 iterações.
Newton converge quadraticamente, superando em taxa de erro a convergência linear do ponto-fixo, e ambos são mais rápidos que a bisseção para essa precisão.

Resposta

A raiz única de x^3-x+3=0 em [-2,-1] é aproximadamente
xapprox-1,672
Iterações necessárias até varepsilon=10^-2:
– Ponto-fixo ( varphi): 3 iterações;
– Bisseção: 7 iterações;
– Newton–Raphson: 3 iterações.

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