Determine um intervalo que contenha uma única raiz do polinômio
. Mostre que
pode ser usada como função auxiliar em um método de ponto fixo e use-a para calcular essa raiz, com precisões
. Depois compare com o método da Bisseção e de NewtonRaphson.
Passo 1
O enunciado pede:
– Encontrar um intervalo que contém exatamente uma raiz de
– Encontrar um intervalo que contém exatamente uma raiz de
– Mostrar que
pode servir de função de iteração de ponto-fixo para essa raiz.
– Calcular a raiz por ponto-fixo até as precisões
.
– Comparar essa iteração com o método da bisseção e o de Newton–Raphson.
– Calcular a raiz por ponto-fixo até as precisões
– Comparar essa iteração com o método da bisseção e o de Newton–Raphson.
Conteúdo principal: uso do Teorema do Valor Intermediário e Convergência de iteração de ponto-fixo, mais comparação com bisseção e Newton.
Passo 2
Usamos o Teorema do Valor Intermediário em
. Calculamos
Como
, existe pelo menos uma raiz em
. Para ver que é única, note que
pois em todo o intervalo
. Logo
é estritamente crescente em
e tem exatamente uma raiz aí.
Passo 3
Reescrevemos
como
Verificamos que
leva
em si mesmo:
e
.
Para garantir convergência, checamos o fator de contração:
e em
o mínimo de
é
, logo
Assim
é contração em
e há convergência única ao ponto-fixo.
Passo 4
Definimos
e escolhemos
. Iteramos até que
e
.
Cálculos aproximados:
Diferenças e resíduos:
Logo paramos em
com ambas as precisões satisfeitas, em 3 iterações.
Passo 5
No método da bisseção em
, a largura do intervalo após
iterações é
Para garantir erro em
menor que
precisamos
Após 7 iterações obtemos
e de fato
. Portanto são necessárias 7 iterações.
Passo 6
No método de Newton–Raphson usamos
Com palpite inicial
:
Verificamos
,
,
e ,
.
Logo paramos em em 3 iterações.
e
Logo paramos em
Passo 7
Comparando números de iterações até
:
– Ponto-fixo com : 3 iterações.
– Bisseção: 7 iterações.
– Newton–Raphson: 3 iterações.
– Ponto-fixo com
– Bisseção: 7 iterações.
– Newton–Raphson: 3 iterações.
Newton converge quadraticamente, superando em taxa de erro a convergência linear do ponto-fixo, e ambos são mais rápidos que a bisseção para essa precisão.
Resposta
A raiz única de
em
é aproximadamente
Iterações necessárias até
:
– Ponto-fixo ( ): 3 iterações;
– Bisseção: 7 iterações;
– Newton–Raphson: 3 iterações.
– Ponto-fixo (
– Bisseção: 7 iterações;
– Newton–Raphson: 3 iterações.