Considere a sequência
definida por
.
Para cada
, mostre que
.
Para cada
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma sequência definida por
A tarefa é mostrar que, para todo
, vale
Isso cai na parte de sequência e relações de recorrência simples, e a gente vai usar as regras de potências (como
) e fatoração para provar.
Passo 2
Primeiro, escreve direitinho
usando a definição:
Agora nota que
, então
Passo 3
Para ver a relação com
, calculamos a diferença
:
Distribuindo o sinal “
” no segundo parêntese:
Passo 4
Agora usamos a regra de potência
. Como
, fica:
Passo 5
Então achamos
Isso dá imediatamente
que é exatamente o que queríamos provar.
Resposta
Para todo
, vale