Considere a sequência an definida por an=3^2 n-1, n in N.
Para cada n in N, mostre que an+1=an+8 cdot 3^2 n.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma sequência definida por
an = 3^2n - 1, ninN
A tarefa é mostrar que, para todo an+1 = an + 8cdot 3^2n, vale
Isso cai na parte de sequência e relações de recorrência simples, e a gente vai usar as regras de potências (como ) e fatoração para provar.

Passo 2

Primeiro, escreve direitinho an+1 ;=; 3^2(n+1) - 1 usando a definição:
an+1 = 3^2n+2 - 1
Agora nota que , então

Passo 3

Para ver a relação com an+1 - an = l(3^2n+2 - 1r) ;-;l(3^2n - 1r) , calculamos a diferença an+1 - an = 3^2n+2 - 1 - 3^2n + 1 = 3^2n+2 - 3^2n :
Distribuindo o sinal “ ” no segundo parêntese:

Passo 4

Agora usamos a regra de potência 3^2n+2 - 3^2n = 3^2ncdot 9 ;-; 3^2n = 3^2n,(9 - 1) = 3^2ncdot 8 . Como , fica:

Passo 5

Então achamos
an+1 - an = 8cdot 3^2n
Isso dá imediatamente
an+1 = an + 8cdot 3^2n,
que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

Para todo boxedan+1 = an + 8cdot 3^2n , vale

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