Mostre, por indução, que
2+4+ldots+2 n=2^n+1-2, forall n in N

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra provar por indução que a soma dos termos da sequência geométrica
2 + 4 + dots + 2^n = 2^n+1 - 2, forall ninN
O conteúdo é Indução Matemática. Pra resolver, a gente vai precisar de:
1) Verificar o caso base (normalmente ).
2) Fazer a hipótese de indução (assumir que vale pra ).
3) Provar que, se vale pra , então vale pra .

Passo 2

Caso base ( 2^1+1 - 2 = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2):
Lado esquerdo: só tem um termo, que é .
Lado direito:

Então, para , . O caso base está certo!

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para algum 2 + 4 + dots + 2^k = 2^k+1 - 2 valha

Passo 4

Passo indutivo: precisamos mostrar que daí segue
2 + 4 + dots + 2^k + 2^k+1 = 2^(k+1)+1 - 2 = 2^k+2 - 2
Bom, basta olhar que a soma até l(2 + 4 + dots + 2^kr) + 2^k+1 = l(2^k+1 - 2r) + 2^k+1 = 2^k+1 + 2^k+1 - 2 é a soma até 2^k+1 + 2^k+1 - 2 = 2^k+2 - 2, mais o próximo termo .
Usando a hipótese:

Agora, pela regra de potências, .
Logo

que é exatamente o que queríamos.

Resposta

Portanto, por indução, mostramos que
$

Exercícios relacionados