Sendo n um número inteiro positivo qualquer, demonstre que a expressão
3^2 n+2-2^n+1
é divisível por 7 .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Mostra que, para todo inteiro positivo 3^2n+2 - 2^n+1 , a expressão
é divisível por 7.”
Conteúdo: estamos usando aritmética modular (congruências) e exponenciação. Vamos precisar saber que, se , então . A ideia é reduzir potências grandes num módulo fixe (7).

Passo 2

Primeiro, repara que
3^2n+2 = 3^2,(n+1) = l(3^2r)^,n+1 = 9^,n+1
Ou seja, em vez de olhar pra diretamente, vamos ver .

Passo 3

Agora, olhamos 9 equiv 2 pmod7 módulo 7:
9^,n+1 ;equiv; 2^,n+1pmod7
Porque . E, pela regra de potência em congruência, se , então

Passo 4

Portanto
3^2n+2 - 2^n+1 ;=; 9^,n+1 - 2^,n+1 ;equiv; 2^,n+1 - 2^,n+1 ;=;0 ;pmod7
Zero módulo 7 significa que é divisível por 7.

Resposta

Logo, para todo inteiro positivo , é divisível por 7.

Exercícios relacionados