Considere a sequência an definida por an=3^2 n-1, n in N.
Demonstre, por indução sobre n, que an é divisível por 8 , para todo n in N.

Passo 1

Beleza, olha o que tá rolando: a sequência é dada por
an = 3^2n - 1, ninN
O que a gente quer provar é que esse an é sempre múltiplo de 8, ou seja, 8mid an.
Conteúdo: prova por indução matemática e noções básicas de divisibilidade.
O que vamos usar:
  1. Princípio da indução (base, hipótese e passo indutivo).
  2. Fato de que, se um número x é múltiplo de 8, então qualquer múltiplo de x também é múltiplo de 8, e a soma de dois múltiplos de 8 também é múltiplo de 8.

Passo 2

Base da indução ( n=1):
a1 = 3^2cdot1 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8
E 8 é claramente divisível por 8. Então a base está ok.

Passo 3

Hipótese de indução:
Suponha que, para um certo kinN, vale
ak = 3^2k - 1
é múltiplo de 8. Ou seja, existe um inteiro m tal que
3^2k - 1 = 8m

Passo 4

Passo indutivo (de k para k+1):
Queremos ver que
ak+1 = 3^2(k+1) - 1
também é múltiplo de 8. Começamos reescrevendo:
ak+1 = 3^2k + 2 - 1 = 3^2kcdot 3^2 - 1 = 9cdot 3^2k - 1
Agora adiciona e subtrai 9 para poder usar a hipótese:
9cdot 3^2k - 1 = 9cdot 3^2k - 9 + 8 = 9l(3^2k - 1r) + 8
Pela hipótese de indução, 3^2k-1 = 8m. Então
ak+1 = 9l(8mr) + 8 = 8l(9m + 1r)
Como (9m+1) é inteiro, concluímos que ak+1 é múltiplo de 8. Isso fecha o passo indutivo.

Resposta

Por indução, mostramos que para todo ninN, an = 3^2n-1 é divisível por 8.

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