Considere a sequência
definida por
.
Demonstre, por indução sobre
, que
é divisível por 8 , para todo
.
Demonstre, por indução sobre
Passo 1
Beleza, olha o que tá rolando: a sequência é dada por
O que a gente quer provar é que esse
é sempre múltiplo de 8, ou seja,
.
Conteúdo: prova por indução matemática e noções básicas de divisibilidade.
O que vamos usar:
Conteúdo: prova por indução matemática e noções básicas de divisibilidade.
O que vamos usar:
- Princípio da indução (base, hipótese e passo indutivo).
- Fato de que, se um número
é múltiplo de 8, então qualquer múltiplo de também é múltiplo de 8, e a soma de dois múltiplos de 8 também é múltiplo de 8.
Passo 2
Base da indução (
):
E 8 é claramente divisível por 8. Então a base está ok.
Passo 3
Hipótese de indução:
Suponha que, para um certo , vale
Suponha que, para um certo
é múltiplo de 8. Ou seja, existe um inteiro
tal que
Passo 4
Passo indutivo (de
para
):
Queremos ver que
Queremos ver que
também é múltiplo de 8. Começamos reescrevendo:
Agora adiciona e subtrai 9 para poder usar a hipótese:
Pela hipótese de indução,
. Então
Como
é inteiro, concluímos que
é múltiplo de 8. Isso fecha o passo indutivo.
Resposta
Por indução, mostramos que para todo
,
é divisível por 8.