Considere a sequência definida recursivamente por an+1=3 an+4, forall n in N. Supondo a0=0:
Conjecture uma fórmula para an e prove-a por indução.

Passo 1

Beleza, o que o enunciado diz é: temos uma sequência onde cada termo vale três vezes o anterior mais quatro, ou seja
an+1 = 3,an + 4
e a gente sabe que . O conteúdo aqui é de recorrência linear de primeira ordem e prova por indução. Para resolver, vamos precisar de:
  1. Conjecturar a forma fechada de (usando uma ideia de “solução homogênea + particular” ou desenrolando a recorrência).
  2. Mostrar que essa forma fechada funciona por indução.

Passo 2

Primeiro, vamos chutar (conjecturar) como deve ser A = 3A + 4 Longrightarrow -2A = 4 Longrightarrow A = -2 . A técnica mais comum é dividir em duas partes:
  • A parte homogênea ( an = Ccdot 3^n + (-2) = Ccdot 3^n - 2 ), cuja solução geral é a0 = Ccdot 3^0 - 2 = C - 2 = 0 Longrightarrow C = 2 .
  • Uma parte particular constante, digamos boxedan = 2cdot 3^n - 2 , que satisfaz .
Então, para achar , resolvemos:
Isso indica que a solução “total” deve ser da forma
Agora usamos a condição inicial :
Logo nossa conjectura é

Passo 3

Agora a gente prova por indução que, de fato, a0 = 2cdot 3^0 - 2 = 2cdot1 - 2 = 0, satisfaz a recorrência e a condição inicial.
Base ak = 2cdot 3^k - 2 :
ak+1 = 2cdot 3^k+1 - 2
que bate com o dado ak+1 = 3,ak + 4 = 3l(2cdot 3^k - 2r) + 4 = 3cdot 2cdot 3^k - 6 + 4 = 2cdot 3^k+1 - 2 .
Hipótese de indução: suponha que para algum valha
Passo indutivo: precisamos mostrar que então
Usando a definição da recorrência:
Perfeito: a forma que a gente conjecturou satisfaz a relação recursiva. Assim, por indução, vale para todo .

Resposta

boxedan = 2cdot 3^n - 2

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