Considere a série de Fourier para a onda dente de serra:
f(x)=8pi sumn=1^infty (-1)^n+1n sen n pi x4 Obs: f(x) in[-4,4]
a) Desenhe o gráfico da função f(x) para o qual esta série de Fourier converge. Desenhe 3 períodos.
b) Escreva o coeficiente bn da série acima.
c) Para qual valor a série acima converge no ponto x=4 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a série de Fourier
f(x)=8pisumn=1^infty(-1)^n+1nsenl(npi x4r)
que representa uma onda dente de serra com valores em [-4,4]. O que vamos precisar é: determinar o período da série, reconhecer a função que ela representa em cada intervalo, extrair o coeficiente bn e aplicar a regra de convergência em pontos de descontinuidade.

Passo 2

Para o termo o pulsação fundamental é
logo o período é
Além disso, sabemos que a expansão em só senos, com coeficiente , corresponde à extensão ímpar de
Portanto, em cada período , para
temos
Isso gera uma rampa que sobe linearmente de a em cada intervalo de comprimento , e depois salta de para . Desenhando três períodos ( ) obtemos segmentos de reta ligando os pontos

Passo 3

Na forma geral da série de Fourier ímpar temos
f(x)=sumn=1^infty bnsen(nomega0x)
Comparando com
f(x)=8pisumn=1^infty(-1)^n+1nsenl(npi x4r) Longrightarrow bn=8pi,(-1)^n+1n

Passo 4

No ponto x=4 há descontinuidade da função (salto de 4 para -4). A soma da série de Fourier em um ponto de salto converge para a média dos limites laterais:
limNtoinftysumn=1^N bnsenl(npi cdot 44r) =f(4^-)+f(4^+)2 =4+(-4)2=0

Resposta

(a) Gráfico de três períodos: rampa linear de -4 a 4 em cada intervalo [4k-4,4k+4] com salto de 4to -4 a cada 8 unidades.
(b)
bn=8pi,(-1)^n+1n
(c) A série converge para 0 em x=4.

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