Considere a série de Fourier para a onda dente de serra:
a) Desenhe o gráfico da função
para o qual esta série de Fourier converge. Desenhe 3 períodos.
b) Escreva o coeficiente
da série acima.
c) Para qual valor a série acima converge no ponto
?
b) Escreva o coeficiente
c) Para qual valor a série acima converge no ponto
Passo 1
O enunciado nos dá a série de Fourier
que representa uma onda dente de serra com valores em
. O que vamos precisar é: determinar o período da série, reconhecer a função que ela representa em cada intervalo, extrair o coeficiente
e aplicar a regra de convergência em pontos de descontinuidade.
Passo 2
Para o termo
o pulsação fundamental é
logo o período é
Além disso, sabemos que a expansão em só senos, com coeficiente
, corresponde à extensão ímpar de
Portanto, em cada período
, para
temos
Isso gera uma rampa que sobe linearmente de
a
em cada intervalo de comprimento
, e depois salta de
para
. Desenhando três períodos (
) obtemos segmentos de reta ligando os pontos
Passo 3
Na forma geral da série de Fourier ímpar temos
Comparando com
Passo 4
No ponto
há descontinuidade da função (salto de
para
). A soma da série de Fourier em um ponto de salto converge para a média dos limites laterais:
Resposta
(a) Gráfico de três períodos: rampa linear de
a
em cada intervalo
com salto de
a cada
unidades.
(b)
(b)
(c) A série converge para
em
.