Determine a Função Polinomial de Taylor da função , com 4 termos, expandindo-a em torno do ponto . Em seguida calcule o erro percentual nas abscissas apresentadas a seguir:
X g(x) G(x) (%)
0
Resp.:

Passo 1

O enunciado pede a polinomial de Taylor de ordem 3 (quatro termos: constante, x, x^2, x^3) da função
g(x)=sin(x)+sin(4x)
em torno de x0=0, e em seguida o erro percentual
varepsilonp(%) = l|g(x)-G(x)r|l|g(x)r|times100%
nos pontos x=-pi/4,-pi/8,0,pi/8,pi/4.

Passo 2

Usamos as séries de Taylor em torno de zero:
sin(x)=x-x^36+O(x^5), sin(4x)=4x-(4x)^36+O(x^5)

Passo 3

Somando as duas expansões e descartando termos de ordem maior que 3:
G(x)=l(x+4xr)-l(x^36+64x^36r) =5x-656,x^3

Passo 4

Calculamos numericamente
;g(x)=sin(x)+sin(4x); e
;G(x)=5x-tfrac656x^3;
e então
varepsilonp(%)=|g-G||g|times100%.

Resposta

x = -pi4:\quad
g(x) approx -0,7071,; G(x) approx +1,3246,; varepsilonp approx 287,3%\quad
x = -pi8:\quad
g(x) approx -1,3827,; G(x) approx -1,3068,; varepsilonp approx 5,49%\quad
x = 0:\quad
g(0) = 0,; G(0) = 0,; varepsilonp = 0%\quad
x = +pi8:\quad
g(x) approx +1,3827,; G(x) approx +1,3068,; varepsilonp approx 5,49%\quad
x = +pi4:\quad
g(x) approx +0,7071,; G(x) approx +1,3246,; varepsilonp approx 87,5%

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