a) Suponha que as extremidades de uma barra de metal com 600 mm de comprimento são mantidas a 0 graus. Suponha que o primeiro quarto da barra é aquecido a 10 graus por uma fonte externa de calor e que esta situação é mantida até que se atinja o estado estacionário. Encontre a distribuição de temperatura de estado estacionário. Faça o gráfico.
b) Suponha que a fonte externa é removida no instante t=0 ( depois de atingido o estado estacionário do ítem a)). No mesmo instante, suponha que a extremidade x=0 é colocada em contato com um reservatório a -15 graus e que a outra extremidade permanece a 0 graus. Encontre a parte transiente da solução w(x, t). ( Observação: não calcule as integrais dos coeficientes da série de Fourier; Tu deverás apenas deixar escrita expressão matemática, correta, correspondente).

Passo 1

Temos uma barra de comprimento L=600 mm cujas extremidades em x=0 e x=L são mantidas a 0^circ. Além disso, o primeiro quarto da barra (isto é, 0<= x<= a com a=L/4=150 mm) é mantido a 10^circ até atingir o estado estacionário. Vamos obter a distribuição de temperatura u(x) no regime estacionário, resolvendo a equação de Laplace em cada parte da barra e impondo as condições de contorno. Em seguida, no instante t=0 removemos essa fonte e passamos a ter novas condições de contorno T(0,t)=-15^circ, T(L,t)=0^circ; procuraremos então a parte transiente w(x,t) pela técnica de separação de variáveis e série de Fourier.

Passo 2

No estado estacionário a equação é
u''(x)=0
porém no trecho 0<= x<= a a temperatura está forçadamente fixa em 10^circ. Logo dividimos em dois troços:
– Para 0<= x<= a:
u(x)=10
– Para a<= x<= L:
u''(x)=0Longrightarrow u(x)=C1,x + C2

Passo 3

Impondo continuidade em x=a e a condição em x=L:
u(a)=10, u(L)=0
temos
C1,a + C2 = 10, C1,L + C2 = 0
Subtraindo, C1(L-a)=-10
C1=-10L-a=-10450, C2=-C1,L=10,LL-a=10cdot600450

Passo 4

Portanto a solução estacionária é
u(x)= 10,&0<= x<= 150,[6pt] 10,dfrac600 - x450,&150<= x<= 600
O gráfico é uma linha horizontal em u=10 até x=150, seguida por uma reta decrescente que atinge u=0 em x=600.]

Passo 5

No instante t=0 retiramos a fonte e impomos
T(0,t)=-15, T(L,t)=0
Chamando v(x,t) a nova solução total, escrevemos
v(x,t)=V(x)+w(x,t),
onde V(x) é o estado estacionário com as novas BC e satisfaz
V''(x)=0, V(0)=-15, V(L)=0
Longrightarrow V(x)=-15l(1-xLr)=-15+15,xL
A parte transiente w(x,t) satisfaz
wt = k,wxx, w(0,t)=0, w(L,t)=0, w(x,0)=u(x)-V(x)

Passo 6

Pela separação de variáveis e série de Fourier em seno temos
w(x,t) =sumn=1^inftyBn,exp!l(-k,(npi/L)^2,tr), sinnpi xL,
com coeficientes dados por
Bn=2L integral0^Ll(u(x)-V(x)r), sinnpi xL,dx

Resposta

(a) Estado estacionário:
u(x)= 10,&0<= x<= 150,[6pt] 10,dfrac600 - x450,&150<= x<= 600
(b) Parte transiente após t=0:
w(x,t) =sumn=1^infty gl[2600 integral0^600l(u(x)-V(x)r) sinnpi x600,dxgr] exp!l(-k,(npi/600)^2,tr), sinnpi x600,
onde V(x)=-15+15x/600 é o novo perfil estacionário.]

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