a) Suponha que as extremidades de uma barra de metal com 600 mm de comprimento são mantidas a 0 graus. Suponha que o primeiro quarto da barra é aquecido a 10 graus por uma fonte externa de calor e que esta situação é mantida até que se atinja o estado estacionário. Encontre a distribuição de temperatura de estado estacionário. Faça o gráfico.
b) Suponha que a fonte externa é removida no instante ( depois de atingido o estado estacionário do ítem a)). No mesmo instante, suponha que a extremidade é colocada em contato com um reservatório a -15 graus e que a outra extremidade permanece a 0 graus. Encontre a parte transiente da solução . ( Observação: não calcule as integrais dos coeficientes da série de Fourier; Tu deverás apenas deixar escrita expressão matemática, correta, correspondente).
Passo 1
Temos uma barra de comprimento mm cujas extremidades em e são mantidas a . Além disso, o primeiro quarto da barra (isto é, com mm) é mantido a até atingir o estado estacionário. Vamos obter a distribuição de temperatura no regime estacionário, resolvendo a equação de Laplace em cada parte da barra e impondo as condições de contorno. Em seguida, no instante removemos essa fonte e passamos a ter novas condições de contorno , ; procuraremos então a parte transiente pela técnica de separação de variáveis e série de Fourier.
Passo 2
No estado estacionário a equação é
porém no trecho a temperatura está forçadamente fixa em . Logo dividimos em dois troços:
– Para :
– Para :
Passo 3
Impondo continuidade em e a condição em :
temos
Subtraindo, dá
Passo 4
Portanto a solução estacionária é
O gráfico é uma linha horizontal em u=10 até x=150, seguida por uma reta decrescente que atinge u=0 em x=600.]
Passo 5
No instante t=0 retiramos a fonte e impomos
T(0,t)=-15, T(L,t)=0
Chamando v(x,t) a nova solução total, escrevemos
v(x,t)=V(x)+w(x,t),
onde V(x) é o estado estacionário com as novas BC e satisfaz
V''(x)=0, V(0)=-15, V(L)=0
Longrightarrow V(x)=-15l(1-xLr)=-15+15,xL
A parte transiente w(x,t) satisfaz
wt = k,wxx, w(0,t)=0, w(L,t)=0, w(x,0)=u(x)-V(x)
Passo 6
Pela separação de variáveis e série de Fourier em seno temos