Determine o Polinômio de Taylor da função , com 4 termos, expandindo-a em torno do ponto .
x f(x) F(x) (%)
0
Resp.:

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 3 (quatro termos) de f(x)=cos(x) em torno de x0=tfracpi4. Para isso vamos usar a fórmula geral de Taylor:
T3(x)=sumk=0^3f^(k)(x0)k!(x-x0)^k

Passo 2

Calculamos as derivadas de f(x)=cos(x) e avaliamos em x0=tfracpi4:
f(x)=cos(x), f'(x)=-sin(x), f''(x)=-cos(x), f'''(x)=sin(x)
Avaliações em x0:
fl(tfracpi4r)=tfracraiz22, f'l(tfracpi4r)=-tfracraiz22, f''l(tfracpi4r)=-tfracraiz22, f'''l(tfracpi4r)=tfracraiz22

Passo 3

Substituindo na fórmula de Taylor até k=3:
T3(x) =tfracraiz22 +l(-tfracraiz22r)(x-tfracpi4) +-tfracraiz222!(x-tfracpi4)^2 +tfracraiz223!(x-tfracpi4)^3

Passo 4

Fatorando tfracraiz22 e simplificando 2!=2, 3!=6:
T3(x) =raiz22l[ 1-(x-tfracpi4) -tfrac12,(x-tfracpi4)^2 +tfrac16,(x-tfracpi4)^3 r]

Resposta

F(x)=raiz22l(1-(x-tfracpi4) -tfrac12(x-tfracpi4)^2 +tfrac16(x-tfracpi4)^3r)

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