Considere a série para o número e=sumn=0^infty 1n!.
Implemente o algoritmo em uma linguagem de programação e aproxime o valor de e com diversos valores de t.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar o número
e ;=;sumn=0^infty1n!
implementando um algoritmo (em qualquer linguagem) que some os termos de até .
Conteúdo: séries infinitas (série de Taylor/Maclaurin para com ), fatoriais e programação básica (laços de repetição, acumulação).

Passo 2

Antes de codar, vamos entender a teoria.
  1. A série de Taylor de e^x = sumn=0^inftyx^nn! em torno de 0 é e = sumn=0^infty1n!Para e approx sumn=0^t1n! vira
  2. Cada termo é . O fatorial é o produto de 1 até .
  3. Como não podemos somar infinitos termos, pegamos só até :
  4. À medida que cresce, a soma parcial se aproxima mais do valor real de , pois os termos posteriores ficam muito pequenos.

Passo 3

Agora a implementação em Python (a ideia vale para outras linguagens):
def aproximar_e(t):
    # Função que retorna soma parcial de 0 a t de 1/n!
    soma = 0.0
    fatorial = 1  # vamos atualizar fatorial de forma iterativa
    for n in range(0, t+1):
        if n > 0:
            fatorial *= n       # atualiza n! = (n-1)! * n
        soma += 1.0 / fatorial  # adiciona 1/n! à soma
    return soma

# Exemplo de uso:
for t in [1, 2, 5, 10, 20]:
    print(t, aproximar_e(t))
Explicação do código passo a passo:
  • Inicializamos soma = 0.0 e fatorial = 1 (já serve para 0! = 1).
  • Para cada n de 0 até t:
    • Se n>0, atualizamos fatorial = fatorial * n (assim obtemos n! sem recalcular do zero).
    • Somamos 1/fatorial ao acumulador soma.
  • No final, soma guarda a aproximação de .

Passo 4

Vamos ver o que o código imprime para alguns valores de :
  • t = 1: soma =
  • t = 2: soma =
  • t = 5: soma ≈ 2.7166666666666663
  • t = 10: soma ≈ 2.7182818011463845
  • t = 20: soma ≈ 2.7182818284590455

Resposta

Para diferentes , a aproximação de fica:
t = 1 → 2.0
t = 2 → 2.5
t = 5 → 2.7166666666666663
t = 10 → 2.7182818011463845
t = 20 → 2.7182818284590455

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