Dados 3 conjuntos
e
, sabemos que:
i. Todo elemento de
também está em
ii.
dos elementos de
também estão em
iii. metade dos elementos de
também estão em
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi.
tem 60 elementos
Represente a situação por meio de um diagrama de Venn. Neste diagrama, conjuntos que não têm elementos na interseção não devem ser representados com interseção.
i. Todo elemento de
ii.
iii. metade dos elementos de
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi.
Represente a situação por meio de um diagrama de Venn. Neste diagrama, conjuntos que não têm elementos na interseção não devem ser representados com interseção.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. É um problema de Teoria de Conjuntos, mais especificamente usar diagramas de Venn e cálculos de cardinalidade. Temos três conjuntos
,
e
e várias informações sobre quantos elementos andam em cada interseção e em cada conjunto.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Entender que
(ou seja, todo mundo de tá em ). - Usar frações de cardinalidades para achar quantos elementos há em cada região do diagrama.
- Saber a fórmula de união/interseção (mas aqui a gente vai contar região a região).
Passo 2
Primeiro, vamos achar quantos elementos tem em
.
- Seja
. - A informação ii) diz que
dos de também estão em . Então - A informação v) diz que exatamente 10 elementos estão em
. Mas como , a interseção é justamente . Logo
Então
.
Passo 3
Agora vamos olhar para
. Sabemos pela vi) que
. Como
, a parte de
que não está em
tem
Também, pela iii), metade dos de
está em
:
Essa interseção
vale 30 e inclui os 10 que estão em
. Então a parte de
que não é de
é
Passo 4
Com isso, a região “só em
” (nem
nem
) é o resto de
depois de tirar os 20 que vão pra
:
E a região “só em
” (ou seja, em
mas não em
) tem
Passo 5
Falta achar quantos estão só em
. A informação iv) diz que “
do total de elementos dos três conjuntos estão em
”. O total de elementos distintos (a união) é a soma de todas as regiões:
só + só
+ só
+
+
.
Chama de o número de elementos só em
. Então o total da união é
só
Chama de
E
só
.
Pela iv):
Pela iv):
Multiplicando por 3:
Resposta
O diagrama de Venn fica assim (em número de elementos em cada região):
- Só em
: 30 - Em
mas não em : 20 - Em
: 10 - Só em
: 10 - Só em
: 20
Como
, desenhamos
como um círculo grande, dentro dele colocamos
(círculo menor), e o círculo de
intersecta parte de
(abrangendo parte de
). Cada região recebe os números acima.