Dados 3 conjuntos A, B e C, sabemos que:
i. Todo elemento de C também está em B
ii. 1 / 3 dos elementos de C também estão em A
iii. metade dos elementos de B também estão em A
iv. 2/3 do total de elementos dos três conjuntos estão em A
v. 10 elementos estão nos três conjuntos simultaneamente
vi. B tem 60 elementos
Represente a situação por meio de um diagrama de Venn. Neste diagrama, conjuntos que não têm elementos na interseção não devem ser representados com interseção.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. É um problema de Teoria de Conjuntos, mais especificamente usar diagramas de Venn e cálculos de cardinalidade. Temos três conjuntos , e e várias informações sobre quantos elementos andam em cada interseção e em cada conjunto.
O que vamos precisar:
  • Entender que (ou seja, todo mundo de tá em ).
  • Usar frações de cardinalidades para achar quantos elementos há em cada região do diagrama.
  • Saber a fórmula de união/interseção (mas aqui a gente vai contar região a região).

Passo 2

Primeiro, vamos achar quantos elementos tem em lvert Acap Crvert = x3 .
  1. Seja x3 = 10 Longrightarrow x = 30 .
  2. A informação ii) diz que dos de também estão em . Então
  3. A informação v) diz que exatamente 10 elementos estão em . Mas como , a interseção é justamente . Logo
Então .

Passo 3

Agora vamos olhar para lvert Bsetminus Crvert = 60 - 30 = 30 . Sabemos pela vi) que lvert Acap Brvert = 12cdot 60 = 30 . Como lvert (Acap B)setminus Crvert = 30 - 10 = 20 , a parte de que não está em tem
Também, pela iii), metade dos de está em :
Essa interseção vale 30 e inclui os 10 que estão em . Então a parte de que não é de é

Passo 4

Com isso, a região “só em lvert só Brvert = 30 - 20 = 10 ” (nem lvert Crvert - lvert Acap Crvert = 30 - 10 = 20 nem ) é o resto de depois de tirar os 20 que vão pra :
ó
E a região “só em ” (ou seja, em mas não em ) tem

Passo 5

Falta achar quantos estão só em y + 10;(só B) + 20;(só C) + 20;((Acap B)setminus C) + 10;(Acap Bcap C) = y + 60 . A informação iv) diz que “ y + 30 = 23,(y + 60) do total de elementos dos três conjuntos estão em 3y + 90 = 2y + 120 Longrightarrow y = 30 ”. O total de elementos distintos (a união) é a soma de todas as regiões:
+ só + só + + .
Chama de o número de elementos só em . Então o total da união é
óó
E .
Pela iv):
Multiplicando por 3:

Resposta

O diagrama de Venn fica assim (em número de elementos em cada região):
  • Só em : 30
  • Em mas não em : 20
  • Em : 10
  • Só em : 10
  • Só em : 20
Como , desenhamos como um círculo grande, dentro dele colocamos (círculo menor), e o círculo de intersecta parte de (abrangendo parte de ). Cada região recebe os números acima.

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