Considere o sistema:
\left\{\begin{array}{rl} 6 x_{1} & -x_{3}=5 \\\\ 4 x_{2}-x_{3} & =-1 \\\\ -4 x_{3}+x_{4} & =-4 \\\\ -x_{1} & 4 x_{4}=-1 \end{array}\right.
Aplique o mét odo it erativo de Gauss-Seidel, a part ir do ponto X^{(0)}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right] e use como tolerância para o critério de parada \varepsilon=0,05.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método iterativo de Gauss–Seidel ao sistema
\left\{\begin{array}{rl} 6x_{1}-x_{3}&=5,\\[4pt] 4x_{2}-x_{3}&=-1,\\[4pt] -4x_{3}+x_{4}&=-4,\\[4pt] -x_{1}+4x_{4}&=-1, \end{array}\right.
partindo do ponto X^{(0)}=\left[\begin{array}{l}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\right] e usando como tolerância para o critério de parada \varepsilon=0{,}05.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Equações: }6x_{1}-x_{3}=5,\;4x_{2}-x_{3}=-1,\;-4x_{3}+x_{4}=-4,\;-x_{1}+4x_{4}=-1.\\\ &\text{Tolerância: }\varepsilon=0{,}05.\\\ &\text{Ponto inicial informado: }X^{(0)}=\left[\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\right]. \end{aligned}çõâ
Observação importante (não resolutiva, apenas identificação de dados): o sistema tem quatro incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, (quatro equações), mas o ponto inicial informado tem apenas três componentes. Isto é uma inconsistência no enunciado: para aplicar Gauss–Seidel precisamos de um chute inicial com quatro componentes. Como o enunciado provavelmente contém um erro de digitação no chute inicial, adotarei a suposição razoável e explícita abaixo para poder executar o método sem pedir esclarecimento adicional.
Suponho, por coerência com o sistema, que o chute inicial correto seria
X^{(0)}=\left[\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\right].]

Passo 2

O que é o método de Gauss–Seidel e como vamos aplicar (explicação didática passo a passo):
  • Idéia geral: dado um sistema linear Ax=b com incógnitas x_{1},\dots,x_{n}, o método de Gauss–Seidel atualiza cada componente x_{i} sequencialmente usando as últimas aproximações disponíveis (ou seja, usa já os valores x_{1}^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} calculados na iteração atual e os valores antigos x_{i+1}^{(k)},\dots,x_{n}^{(k)} ainda não atualizados). Isso costuma acelerar a convergência em relação ao método de Jacobi.
  • Fórmula de atualização: se a i-ésima equação do sistema é
a_{ii}x_{i}+\sum_{j\ne i}a_{ij}x_{j}=b_{i},
então a atualização de Gauss–Seidel para x_{i} é
x_{i}^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_{i}-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}\Bigr).
Aqui x_{j}^{(k+1)} são os valores já atualizados na iteração atual e x_{j}^{(k)} são os valores da iteração anterior.
  • Critério de parada escolhido (uma forma comum e simples): parar quando a norma infinito da diferença entre iterações sucessivas for menor que a tolerância, isto é
\|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}=\max_{i}|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}|<\varepsilon.
Aqui \varepsilon=0{,}05 (dados do enunciado). Vou usar exatamente esse critério.

Passo 3

Reescrever cada equação isolando a incógnita correspondente (isso é útil para aplicar Gauss–Seidel de forma direta):
Da 1.ª equação 6x_{1}-x_{3}=5 isolamos x_{1}:
x_{1}=\frac{5+x_{3}}{6}.
Da 2.ª equação 4x_{2}-x_{3}=-1 isolamos x_{2}:
x_{2}=\frac{-1+x_{3}}{4}.
Da 3.ª equação -4x_{3}+x_{4}=-4 isolamos x_{3}:
-4x_{3}=-4-x_{4}\quad\Rightarrow\quad x_{3}=1+\frac{x_{4}}{4}.
Da 4.ª equação -x_{1}+4x_{4}=-1 isolamos x_{4}:
4x_{4}=x_{1}-1\quad\Rightarrow\quad x_{4}=\frac{x_{1}-1}{4}.
Estas quatro fórmulas são as que vamos usar na ordem x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} em cada iteração de Gauss–Seidel, sempre usando os valores mais atualizados disponíveis.

Passo 4

Aplicando o método a partir de X^{(0)}=\left[\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\right]. Vou mostrar as contas de cada iteração, com exatidão em frações e aproximação decimal para facilitar a leitura.
Iteração 1 (k=0 → k=1):
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=\frac{5+x_{3}^{(0)}}{6}=\frac{5+1}{6}=\frac{6}{6}=1,\\[4pt] x_{2}^{(1)}&=\frac{-1+x_{3}^{(0)}}{4}=\frac{-1+1}{4}=0,\\[4pt] x_{3}^{(1)}&=1+\frac{x_{4}^{(0)}}{4}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}=1{,}25,\\[4pt] x_{4}^{(1)}&=\frac{x_{1}^{(1)}-1}{4}=\frac{1-1}{4}=0. \end{aligned}
Logo
X^{(1)}=\left[\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]\tfrac{5}{4}\\[2pt]0\end{array}\right]\approx\left[\begin{array}{c}1{,}000\\[2pt]0{,}000\\[2pt]1{,}250\\[2pt]0{,}000\end{array}\right].
Diferença em relação a X^{(0)}:
\|X^{(1)}-X^{(0)}\|_{\infty}=\max\{0,1,0{,}25,1\}=1>0{,}05.
Não parou.
Iteração 2 (k=1 → k=2):
\begin{aligned} x_{1}^{(2)}&=\frac{5+x_{3}^{(1)}}{6}=\frac{5+\tfrac{5}{4}}{6}=\frac{\tfrac{25}{4}}{6}=\frac{25}{24}\approx1{,}041666\ldotp\\[4pt] x_{2}^{(2)}&=\frac{-1+x_{3}^{(1)}}{4}=\frac{-1+\tfrac{5}{4}}{4}=\frac{\tfrac{1}{4}}{4}=\frac{1}{16}=0{,}0625\ldotp\\[4pt] x_{3}^{(2)}&=1+\frac{x_{4}^{(1)}}{4}=1+\frac{0}{4}=1,\\[4pt] x_{4}^{(2)}&=\frac{x_{1}^{(2)}-1}{4}=\frac{\tfrac{25}{24}-1}{4}=\frac{\tfrac{1}{24}}{4}=\frac{1}{96}\approx0{,}0104167. \end{aligned}
Logo
X^{(2)}=\left[\begin{array}{c}\tfrac{25}{24}\\[2pt]\tfrac{1}{16}\\[2pt]1\\[2pt]\tfrac{1}{96}\end{array}\right]\approx\left[\begin{array}{c}1{,}041667\\[2pt]0{,}062500\\[2pt]1{,}000000\\[2pt]0{,}010417\end{array}\right].
Diferença em relação a X^{(1)}:
\|X^{(2)}-X^{(1)}\|_{\infty}=\max\{0{,}041667,0{,}0625,0{,}25,0{,}010417\}=0{,}25>0{,}05.
Ainda não para.
Iteração 3 (k=2 → k=3):
\begin{aligned} x_{1}^{(3)}&=\frac{5+x_{3}^{(2)}}{6}=\frac{5+1}{6}=1,\\[4pt] x_{2}^{(3)}&=\frac{-1+x_{3}^{(2)}}{4}=\frac{-1+1}{4}=0,\\[4pt] x_{3}^{(3)}&=1+\frac{x_{4}^{(2)}}{4}=1+\frac{\tfrac{1}{96}}{4}=1+\frac{1}{384}=\frac{385}{384}\approx1{,}00260417,\\[4pt] x_{4}^{(3)}&=\frac{x_{1}^{(3)}-1}{4}=\frac{1-1}{4}=0. \end{aligned}
Logo
X^{(3)}=\left[\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]\tfrac{385}{384}\\[2pt]0\end{array}\right]\approx\left[\begin{array}{c}1{,}000000\\[2pt]0{,}000000\\[2pt]1{,}002604\\[2pt]0{,}000000\end{array}\right].
Diferença em relação a X^{(2)}:
\|X^{(3)}-X^{(2)}\|_{\infty}=\max\{0{,}041667,0{,}0625,0{,}002604,0{,}010417\}=0{,}0625>0{,}05.
Ainda não para.
Iteração 4 (k=3 → k=4):
\begin{aligned} x_{1}^{(4)}&=\frac{5+x_{3}^{(3)}}{6}=\frac{5+\tfrac{385}{384}}{6}=\frac{\tfrac{2305}{384}}{6}=\frac{2305}{2304}\approx1{,}000434028,\\[4pt] x_{2}^{(4)}&=\frac{-1+x_{3}^{(3)}}{4}=\frac{-1+\tfrac{385}{384}}{4}=\frac{\tfrac{1}{384}}{4}=\frac{1}{1536}\approx0{,}0006510417,\\[4pt] x_{3}^{(4)}&=1+\frac{x_{4}^{(3)}}{4}=1+\frac{0}{4}=1,\\[4pt] x_{4}^{(4)}&=\frac{x_{1}^{(4)}-1}{4}=\frac{\tfrac{2305}{2304}-1}{4}=\frac{\tfrac{1}{2304}}{4}=\frac{1}{9216}\approx0{,}0001085069. \end{aligned}
Logo
X^{(4)}=\left[\begin{array}{c}\tfrac{2305}{2304}\\[2pt]\tfrac{1}{1536}\\[2pt]1\\[2pt]\tfrac{1}{9216}\end{array}\right]\approx\left[\begin{array}{c}1{,}000434\\[2pt]0{,}000651\\[2pt]1{,}000000\\[2pt]0{,}000109\end{array}\right].
Diferença em relação a X^{(3)}:
\|X^{(4)}-X^{(3)}\|_{\infty}=\max\{0{,}000434028,0{,}0006510417,0{,}00260417,0{,}0001085069\}=0{,}00260417.
Como 0{,}00260417<\varepsilon(=0{,}05), o critério de parada foi satisfeito aqui; portanto paramos na iteração 4.]

Passo 5

Resumo interpretativo e motivação (um incentivo amigável): aplicamos Gauss–Seidel passo a passo, usando sempre os valores já atualizados na mesma iteração — isso fez as aproximações oscilar pouco e convergir rápido. A inconsistência inicial no enunciado foi tratada ao assumir o chute inicial com quatro componentes iguais a 1; se o chute original esperado for outro, o processo é o mesmo e os números mudariam, mas a sequência de passos permanece igual. Boa! Você já sabe exatamente como fazer na prova: isole cada variável, aplique as fórmulas de atualização uma a uma usando os valores mais recentes e verifique \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon.

Resposta

X\approx\left[\begin{array}{c}\tfrac{2305}{2304}\\[4pt]\tfrac{1}{1536}\\[4pt]1\\[4pt]\tfrac{1}{9216}\end{array}\right]\approx\left[\begin{array}{c}1{,}000434\\[4pt]0{,}000651\\[4pt]1{,}000000\\[4pt]0{,}000109\end{array}\right]]

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