Aplique o mét odo it erativo de Gauss-Seidel, a part ir do ponto X^{(0)}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right] e use como tolerância para o critério de parada \varepsilon=0,05.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o método iterativo de Gauss–Seidel ao sistema
partindo do ponto X^{(0)}=\left[\begin{array}{l}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\right] e usando como tolerância para o critério de parada \varepsilon=0{,}05.
Observação importante (não resolutiva, apenas identificação de dados): o sistema tem quatro incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\, (quatro equações), mas o ponto inicial informado tem apenas três componentes. Isto é uma inconsistência no enunciado: para aplicar Gauss–Seidel precisamos de um chute inicial com quatro componentes. Como o enunciado provavelmente contém um erro de digitação no chute inicial, adotarei a suposição razoável e explícita abaixo para poder executar o método sem pedir esclarecimento adicional.
Suponho, por coerência com o sistema, que o chute inicial correto seria
O que é o método de Gauss–Seidel e como vamos aplicar (explicação didática passo a passo):
Idéia geral: dado um sistema linear Ax=b com incógnitas x_{1},\dots,x_{n}, o método de Gauss–Seidel atualiza cada componente x_{i} sequencialmente usando as últimas aproximações disponíveis (ou seja, usa já os valores x_{1}^{(k+1)},\dots,x_{i-1}^{(k+1)} calculados na iteração atual e os valores antigos x_{i+1}^{(k)},\dots,x_{n}^{(k)} ainda não atualizados). Isso costuma acelerar a convergência em relação ao método de Jacobi.
Fórmula de atualização: se a i-ésima equação do sistema é
Aqui x_{j}^{(k+1)} são os valores já atualizados na iteração atual e x_{j}^{(k)} são os valores da iteração anterior.
Critério de parada escolhido (uma forma comum e simples): parar quando a norma infinito da diferença entre iterações sucessivas for menor que a tolerância, isto é
Estas quatro fórmulas são as que vamos usar na ordem x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} em cada iteração de Gauss–Seidel, sempre usando os valores mais atualizados disponíveis.
Passo 4
Aplicando o método a partir de X^{(0)}=\left[\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\right]. Vou mostrar as contas de cada iteração, com exatidão em frações e aproximação decimal para facilitar a leitura.
Como 0{,}00260417<\varepsilon(=0{,}05), o critério de parada foi satisfeito aqui; portanto paramos na iteração 4.]
Passo 5
Resumo interpretativo e motivação (um incentivo amigável): aplicamos Gauss–Seidel passo a passo, usando sempre os valores já atualizados na mesma iteração — isso fez as aproximações oscilar pouco e convergir rápido. A inconsistência inicial no enunciado foi tratada ao assumir o chute inicial com quatro componentes iguais a 1; se o chute original esperado for outro, o processo é o mesmo e os números mudariam, mas a sequência de passos permanece igual. Boa! Você já sabe exatamente como fazer na prova: isole cada variável, aplique as fórmulas de atualização uma a uma usando os valores mais recentes e verifique \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon.