Considere o sistema de equações lineares:
\left\{\begin{array}{r} 8 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=1 \\\\ 2 x_{1}-4 x_{2}=1 \\\\ -x_{2}+8 x_{3}-x_{4}=1 \\\\ -x_{3}+4 x_{4}=1 \end{array}\right.
Resolva pelo método de Gauss-Seidel com \varepsilon=0,05 e X^{(0)}=\left[\begin{array}{c}0,125 \\\\ -0,25 \\\\ 0,125 \\\\ 0,25\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: resolver o sistema linear abaixo pelo método de Gauss–Seidel usando tolerância \varepsilon=0,05 e vetor inicial X^{(0)}.
\left\{\begin{array}{r} 8 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=1 \\\\ 2 x_{1}-4 x_{2}=1 \\\\ -x_{2}+8 x_{3}-x_{4}=1 \\\\ -x_{3}+4 x_{4}=1 \end{array}\right.
Informações dadas e o que precisamos:
\varepsilon = 0,05
X^{(0)}=\begin{pmatrix}0,125\\\ -0,25\\\ 0,125\\\ 0,25\end{pmatrix}
O objetivo é aplicar iterações de Gauss–Seidel até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que \varepsilon (iremos usar a norma infinito: \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon).

Passo 2

Vamos montar as fórmulas de iteração do Gauss–Seidel isolando cada variável em sua equação. A ideia do Gauss–Seidel é atualizar as componentes em sequência e, sempre que possível, usar os valores já atualizados na mesma iteração (isso acelera a convergência).
Isolando cada x_i das equações temos:
Da primeira equação:
8x_{1}+2x_{2}-x_{3}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{1-2x_{2}+x_{3}}{8}.
Da segunda:
2x_{1}-4x_{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{2x_{1}-1}{4}.
Da terceira:
- x_{2}+8x_{3}-x_{4}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{1+x_{2}+x_{4}}{8}.
Da quarta:
- x_{3}+4x_{4}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{4}=\frac{1+x_{3}}{4}.
Regra de atualização (Gauss–Seidel), na ordem x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}:
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)} &= \frac{1-2x_{2}^{(k)}+x_{3}^{(k)}}{8},\\\ x_{2}^{(k+1)} &= \frac{2x_{1}^{(k+1)}-1}{4},\\\ x_{3}^{(k+1)} &= \frac{1+x_{2}^{(k+1)}+x_{4}^{(k)}}{8},\\\ x_{4}^{(k+1)} &= \frac{1+x_{3}^{(k+1)}}{4}. \end{aligned}
Critério de parada escolhido: a norma infinito da diferença entre iterações consecutivas,
\|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}=\max_{i}|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}|.
Parar quando \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon.
Agora aplicamos as iterações começando de X^{(0)}.

Passo 3

Iteração k=0 \to calcular X^{(1)} a partir de X^{(0)}.
Valores iniciais:
x_{1}^{(0)}=0,125,\quad x_{2}^{(0)}=-0,25,\quad x_{3}^{(0)}=0,125,\quad x_{4}^{(0)}=0,25.
Cálculos passo a passo:
Para x_{1}^{(1)}:
x_{1}^{(1)}=\frac{1-2x_{2}^{(0)}+x_{3}^{(0)}}{8} =\frac{1-2(-0,25)+0,125}{8} =\frac{1+0,5+0,125}{8} =\frac{1,625}{8}=0,203125.
Para x_{2}^{(1)}:
x_{2}^{(1)}=\frac{2x_{1}^{(1)}-1}{4} =\frac{2\cdot 0,203125-1}{4} =\frac{0,40625-1}{4} =\frac{-0,59375}{4}=-0,1484375.
Para x_{3}^{(1)}:
x_{3}^{(1)}=\frac{1+x_{2}^{(1)}+x_{4}^{(0)}}{8} =\frac{1-0,1484375+0,25}{8} =\frac{1,1015625}{8}=0,1376953125.
Para x_{4}^{(1)}:
x_{4}^{(1)}=\frac{1+x_{3}^{(1)}}{4} =\frac{1+0,1376953125}{4} =\frac{1,1376953125}{4}=0,284423828125.
Assim:
X^{(1)}=\begin{pmatrix}0,203125\\\ -0,1484375\\\ 0,1376953125\\\ 0,284423828125\end{pmatrix}.
Diferenças com X^{(0)}:
\begin{aligned} |x_{1}^{(1)}-x_{1}^{(0)}|&=|0,203125-0,125|=0,078125,\\\ |x_{2}^{(1)}-x_{2}^{(0)}|&=|-0,1484375-(-0,25)|=0,1015625,\\\ |x_{3}^{(1)}-x_{3}^{(0)}|&=|0,1376953125-0,125|=0,0126953125,\\\ |x_{4}^{(1)}-x_{4}^{(0)}|&=|0,284423828125-0,25|=0,034423828125. \end{aligned}
\|X^{(1)}-X^{(0)}\|_{\infty}=\max\{0,078125,0,1015625,0,0126953125,0,034423828125\}=0,1015625.
Como 0,1015625>\varepsilon(=0,05), não paramos; prosseguimos para a próxima iteração.

Passo 4

Iteração k=1 \to calcular X^{(2)} a partir de X^{(1)}.
Usamos os valores de X^{(1)} e as fórmulas de Gauss–Seidel (lembre que dentro desta iteração usamos os valores já atualizados quando disponíveis).
Para x_{1}^{(2)}:
x_{1}^{(2)}=\frac{1-2x_{2}^{(1)}+x_{3}^{(1)}}{8} =\frac{1-2(-0,1484375)+0,1376953125}{8} =\frac{1+0,296875+0,1376953125}{8} =\frac{1,4345703125}{8}=0,1793212890625.
Para x_{2}^{(2)}:
x_{2}^{(2)}=\frac{2x_{1}^{(2)}-1}{4} =\frac{2\cdot 0,1793212890625-1}{4} =\frac{0,358642578125-1}{4} =\frac{-0,641357421875}{4}=-0,16033935546875.
Para x_{3}^{(2)}:
x_{3}^{(2)}=\frac{1+x_{2}^{(2)}+x_{4}^{(1)}}{8} =\frac{1-0,16033935546875+0,284423828125}{8} =\frac{1,12408447265625}{8}=0,14051055908203125.
Para x_{4}^{(2)}:
x_{4}^{(2)}=\frac{1+x_{3}^{(2)}}{4} =\frac{1+0,14051055908203125}{4} =\frac{1,14051055908203125}{4}=0,2851276397705078125.
Assim:
X^{(2)}=\begin{pmatrix} 0,1793212890625\\\\ -0,16033935546875\\\\ 0,14051055908203125\\\\ 0,2851276397705078125 \end{pmatrix}.
Diferenças com X^{(1)}:
\begin{aligned} |x_{1}^{(2)}-x_{1}^{(1)}|&=|0,1793212890625-0,203125|=0,0238037109375,\\\ |x_{2}^{(2)}-x_{2}^{(1)}|&=|-0,16033935546875-(-0,1484375)|=0,01190185546875,\\\ |x_{3}^{(2)}-x_{3}^{(1)}|&=|0,14051055908203125-0,1376953125|=0,00281524658203125,\\\ |x_{4}^{(2)}-x_{4}^{(1)}|&=|0,2851276397705078-0,284423828125|=0,0007038116455078125. \end{aligned}
\|X^{(2)}-X^{(1)}\|_{\infty}=\max\{0,0238037109375,0,01190185546875,0,00281524658203125,0,0007038116455078125\}=0,0238037109375.
Agora 0,0238037109375<\varepsilon(=0,05). Portanto, o critério de parada é satisfeito e podemos parar nas aproximações obtidas em X^{(2)}.

Resposta

X^{(2)}=\begin{pmatrix} 0,1793212890625\\ -0,16033935546875\\ 0,14051055908203125\\ 0,2851276397705078125 \end{pmatrix}

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