Dados os números {\bar{x}=0,3142 \times 10^{1}} e {\bar{y}=0,2718 \times 10^{1}}, com {\left|E R_{x}\right|<0,5 \times 10^{-3}} e {\left|E R_{y}\right|< 0,5 \times 10^{-3}} :
Calcule {\bar{w}=\bar{x} \times \bar{y}} e estime {\left|E R_{w}\right|}

Passo 1

O enunciado dá os valores aproximados e os limites para os erros relativos:
\bar{x}=0,3142\times10^{1},\qquad \bar{y}=0,2718\times10^{1}
\left|E R_{x}\right|<0,5\times10^{-3},\qquad \left|E R_{y}\right|<0,5\times10^{-3}.
O que pede:
  1. Calcular \bar{w}=\bar{x}\times\bar{y}.
  2. Estimar \left|E R_{w}\right| (o módulo do erro relativo de w).\n

Passo 2

Primeiro converto \bar{x} e \bar{y} para forma decimal normal (mais fácil de multiplicar):
\bar{x}=0,3142\times10^{1}=3,142, \qquad \bar{y}=0,2718\times10^{1}=2,718.
Aqui eu só multipliquei a mantissa por 10^{1} para obter os valores em notação habitual.

Passo 3

Agora multiplico passo a passo para achar \bar{w}. Vou fazer a multiplicação em partes para você conseguir reproduzir na prova sem calculadora:
\bar{w}=\bar{x}\bar{y}=3,142\times2,718.
Faço 3,142\times2 e 3,142\times0,718 separadamente:
3,142\times2=6,284,
3,142\times0,718=3,142\times\frac{718}{1000}=\frac{3,142\times718}{1000}.
Calculo 3,142\times718 por partes:
3,142\times700=2\,199,4,\qquad 3,142\times18=56,556,
3,142\times718=2\,199,4+56,556=2\,255,956.
Dividindo por 1000:
3,142\times0,718=2,255956.
Somando:
\bar{w}=6,284+2,255956=8,539956.
Em notação parecida com a do enunciado (mantissa vezes potência de 10):
\bar{w}=0,8539956\times10^{1}.

Passo 4

Agora a parte didática sobre erro relativo em produto (como estimar \left|E R_{w}\right|).
Definições rápidas e úteis:
  • O erro relativo de uma grandeza z é \delta_z=\frac{z-\bar{z}}{\bar{z}} (ou seja, z=\bar{z}(1+\delta_z)).
  • Para duas grandezas com erros relativos pequenos, ao multiplicá-las os erros relativos “se somam” em primeira aproximação.
Formalmente, se x=\bar{x}(1+\delta_x) e y=\bar{y}(1+\delta_y), então
w=xy=\bar{x}\bar{y}(1+\delta_x)(1+\delta_y)=\bar{w}(1+\delta_x+\delta_y+\delta_x\delta_y).
Logo o erro relativo exato de w é
\delta_w=\delta_x+\delta_y+\delta_x\delta_y.
Tomando módulos temos a desigualdade útil
\left|\delta_w\right|\le\left|\delta_x\right|+\left|\delta_y\right|+\left|\delta_x\right|\left|\delta_y\right|.
Para erros pequenos o termo \left|\delta_x\right|\left|\delta_y\right| é de ordem muito menor (termo de segunda ordem) e normalmente se usa a aproximação de primeira ordem
\left|\delta_w\right|\approx\left|\delta_x\right|+\left|\delta_y\right|.
Mas podemos também dar uma cota rigorosa incluindo o termo quadrático se quisermos certeza absoluta.

Passo 5

Aplicando os limites numéricos dados:
\left|E R_x\right|<0,5\times10^{-3}=5,0\times10^{-4}, \qquad \left|E R_y\right|<5,0\times10^{-4}.
Usando a aproximação de primeira ordem:
\left|E R_w\right|\lessapprox 5,0\times10^{-4}+5,0\times10^{-4}=1,0\times10^{-3}.
Se quisermos a cota rigorosa que inclui o termo quadrático:
\left|E R_w\right|<5,0\times10^{-4}+5,0\times10^{-4}+(5,0\times10^{-4})^2 =1,00025\times10^{-3}.
Ou seja, na prática você pode estimar \left|E R_w\right| por 1,0\times10^{-3}; se precisar de máxima precisão, a cota é 1,00025\times10^{-3}.

Resposta

\bar{w}=0,8539956\times10^{1}
\left|E R_{w}\right|<1,0\times10^{-3}

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