Dados os números
e
, com
e
:
Calcule
e estime
Calcule
Passo 1
O enunciado dá os valores aproximados e os limites para os erros relativos:
O que pede:
- Calcular
. - Estimar
(o módulo do erro relativo de ).\n
Passo 2
Primeiro converto
e
para forma decimal normal (mais fácil de multiplicar):
Aqui eu só multipliquei a mantissa por
para obter os valores em notação habitual.
Passo 3
Agora multiplico passo a passo para achar
. Vou fazer a multiplicação em partes para você conseguir reproduzir na prova sem calculadora:
Faço
e
separadamente:
Calculo
por partes:
Dividindo por
:
Somando:
Em notação parecida com a do enunciado (mantissa vezes potência de 10):
Passo 4
Agora a parte didática sobre erro relativo em produto (como estimar
).
Definições rápidas e úteis:
Definições rápidas e úteis:
- O erro relativo de uma grandeza
é (ou seja, ). - Para duas grandezas com erros relativos pequenos, ao multiplicá-las os erros relativos “se somam” em primeira aproximação.
Formalmente, se
e
, então
Logo o erro relativo exato de
é
Tomando módulos temos a desigualdade útil
Para erros pequenos o termo
é de ordem muito menor (termo de segunda ordem) e normalmente se usa a aproximação de primeira ordem
Mas podemos também dar uma cota rigorosa incluindo o termo quadrático se quisermos certeza absoluta.
Passo 5
Aplicando os limites numéricos dados:
Usando a aproximação de primeira ordem:
Se quisermos a cota rigorosa que inclui o termo quadrático:
Ou seja, na prática você pode estimar
por
; se precisar de máxima precisão, a cota é
.