Considere o seguinte sistema de equações lineares: \begin{cases}2 x_{1}-6 x_{2}-x_{3} & =-38 \\\\ -3 x_{1}-x_{2}+7 x_{3} & =-34 \\\\ -8 x_{1}+x_{2}-2 x_{3} & =-20\end{cases}
a) Faça a etapa de eliminação de Gauss com pivotação parcial.
b) Utilize os resultados obtidos para escrever a fatoração LU da matriz A.
c) Calcular o determinante da matriz A.
e pede três coisas:
(a) executar a etapa de eliminação de Gauss com pivotação parcial (ou seja, fazer as operações de eliminação escolhendo, em cada coluna, o pivô com maior valor absoluto e efetuando trocas de linha quando necessário);
(b) usar os resultados para escrever a fatoração LU da matriz A;
(c) calcular o determinante de A.
Vamos fazer eliminação com pivotação parcial (trocas de linhas quando necessário) e registrar os multiplicadores para construir L. No final, com pivotação, teremos uma permutação P tal que PA=LU.]
Passo 2
Breve lembrete do método (passo-a-passo do que vou fazer):
Para cada coluna k (começando em k=1), procurar entre as linhas k,k+1,\ldots,n a entrada de maior valor absoluto na coluna k. Essa linha será o pivô; se for diferente da linha k trocar as duas linhas (essa é a pivotação parcial).
Registrar cada troca (vai resultar numa matriz de permutação P).
Calcular os multiplicadores m_{ik} = \dfrac{a_{ik}}{a_{kk}} para i>k e substituir a linha i por linha i menos m_{ik} vezes a linha k.
Guardar os multiplicadores na matriz L (na coluna k, nas linhas i>k). Se houver trocas de linha durante o processo, as linhas já preenchidas de L devem ser permutadas da mesma forma (isso garante PA=LU).
Vou aplicar isso explicitamente, com contas detalhadas.
Explicação rápida: o multiplicador m_{i1} é o número que multiplica a primeira linha para anular a entrada da linha i na coluna 1: nova linha i \leftarrow linha i - m_{i1}\cdot linha 1.
Os multiplicadores usados na primeira coluna (para a matriz corrente) são \dfrac{3}{8} e -\dfrac{1}{4} (estes serão guardados em L, levando em conta futuras trocas).]
Passo 5
Agora vamos para a coluna 2 (entre as linhas 2 e 3 restantes) e fazemos pivotação parcial: comparar |a_{22}'| e |a_{32}'|:
O maior é \left|-\dfrac{23}{4}\right| (está na linha 3), portanto troco a linha 2 com a linha 3 (segunda troca). Lembre-se: quando se trocam linhas durante a eliminação, as linhas já preenchidas de L correspondentes às colunas anteriores também devem ser trocadas — eu vou explicar isso quando montar L.
Após a troca (linha 2 \leftrightarrow linha 3) a matriz fica:
Observações sobre as trocas: foram feitas 2 trocas de linha (primeiro 1\leftrightarrow3, depois 2\leftrightarrow3). O efeito líquido nas posições das linhas do sistema é que a ordem das linhas usada na eliminação final é a permutação [3,1,2] das linhas originais. A matriz de permutação correspondente é
pois PA é a matriz cujo primeiro linha é a linha 3 original, segunda linha é a linha 1 original e terceira é a linha 2 original.]
Passo 7
Construção da matriz L (matriz unitriangular inferior com os multiplicadores) explicada com cuidado:
Na etapa de eliminação com pivotação parcial eu usei os multiplicadores da primeira coluna (antes da segunda troca) m_{21}=\dfrac{3}{8} e m_{31}=-\dfrac{1}{4}. Depois que troquei linhas para trazer o maior pivô da segunda coluna, essas linhas já preenchidas de L têm de seguir a mesma permutação (isso garante consistência). Assim, após as trocas a coluna 1 de L tem, nas linhas 2 e 3 (na ordem final usada para o produto LU), os valores -\dfrac{1}{4} e \dfrac{3}{8} respectivamente.
Na segunda etapa, o multiplicador que eliminou a_{32} (na ordem final) foi m_{32}=\dfrac{11}{46}, que vai na posição (3,2) de L.
Verificação rápida (conceitual): com essas P,L,U vale PA=LU (pode-se multiplicar e conferir que LU reproduz PA — eu segui as regras de permutar linhas de L quando troquei linhas durante a eliminação).]
Passo 8
Cálculo do determinante de A.
Usando PA=LU, tomando determinantes:
\det(P)\det(A)=\det(L)\det(U).
\det(L)=1 porque L é triangular com diagonais iguais a 1.
\det(P)=(-1)^{s} onde s é o número de trocas de linhas. Fizemos s=2 trocas, portanto \det(P)=(-1)^2=1.
Logo \det(A)=\det(U).
O determinante de U é o produto dos elementos diagonais: