Considere o seguinte sistema de equações lineares: \begin{cases}2 x_{1}-6 x_{2}-x_{3} & =-38 \\\\ -3 x_{1}-x_{2}+7 x_{3} & =-34 \\\\ -8 x_{1}+x_{2}-2 x_{3} & =-20\end{cases}
a) Faça a etapa de eliminação de Gauss com pivotação parcial.
b) Utilize os resultados obtidos para escrever a fatoração LU da matriz A.
c) Calcular o determinante da matriz A.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 2 x_{1}-6 x_{2}-x_{3} = -38,\\[4pt] -3 x_{1}-x_{2}+7 x_{3} = -34,\\[4pt] -8 x_{1}+x_{2}-2 x_{3} = -20, \end{cases}
e pede três coisas:
(a) executar a etapa de eliminação de Gauss com pivotação parcial (ou seja, fazer as operações de eliminação escolhendo, em cada coluna, o pivô com maior valor absoluto e efetuando trocas de linha quando necessário);
(b) usar os resultados para escrever a fatoração LU da matriz A;
(c) calcular o determinante de A.
Informações dadas relevantes:
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 2 & -6 & -1\\[4pt] -3 & -1 & 7\\[4pt] -8 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
  • Vamos fazer eliminação com pivotação parcial (trocas de linhas quando necessário) e registrar os multiplicadores para construir L. No final, com pivotação, teremos uma permutação P tal que PA=LU.]

Passo 2

Breve lembrete do método (passo-a-passo do que vou fazer):
  • Para cada coluna k (começando em k=1), procurar entre as linhas k,k+1,\ldots,n a entrada de maior valor absoluto na coluna k. Essa linha será o pivô; se for diferente da linha k trocar as duas linhas (essa é a pivotação parcial).
  • Registrar cada troca (vai resultar numa matriz de permutação P).
  • Calcular os multiplicadores m_{ik} = \dfrac{a_{ik}}{a_{kk}} para i>k e substituir a linha i por linha i menos m_{ik} vezes a linha k.
  • Guardar os multiplicadores na matriz L (na coluna k, nas linhas i>k). Se houver trocas de linha durante o processo, as linhas já preenchidas de L devem ser permutadas da mesma forma (isso garante PA=LU).
Vou aplicar isso explicitamente, com contas detalhadas.

Passo 3

Escrevo A para começar a eliminação:
A=\begin{pmatrix} 2 & -6 & -1\\[4pt] -3 & -1 & 7\\[4pt] -8 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
Coluna 1: comparação dos pivôs candidatos (valores absolutos) nas linhas 1,2,3:
|2|=2,\qquad |-3|=3,\qquad |-8|=8.
O maior em valor absoluto é |-8|=8, que está na linha 3. Portanto faço a troca de linha 1 com linha 3 (primeira troca).
Após a troca (linha 1 \leftrightarrow linha 3) a matriz fica:
\begin{pmatrix} -8 & 1 & -2\\[4pt] -3 & -1 & 7\\[4pt] 2 & -6 & -1 \end{pmatrix}.
(Registro: houve 1 troca até agora.)]

Passo 4

Agora uso o pivô a_{11}=-8 para eliminar abaixo:
Calculo os multiplicadores da coluna 1:
m_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{-3}{-8}=\frac{3}{8}, \qquad m_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{2}{-8}=-\frac{1}{4}.
Explicação rápida: o multiplicador m_{i1} é o número que multiplica a primeira linha para anular a entrada da linha i na coluna 1: nova linha i \leftarrow linha i - m_{i1}\cdot linha 1.
Aplicando:
  • Linha 2 := Linha 2 - \dfrac{3}{8}·Linha 1: \begin{aligned} a_{22}' & = -1 - \frac{3}{8}\cdot 1 = -1 - \frac{3}{8} = -\frac{11}{8},\\[4pt] a_{23}' & = 7 - \frac{3}{8}\cdot(-2) = 7 + \frac{6}{8} = \frac{31}{4}. \end{aligned}
  • Linha 3 := Linha 3 - \left(-\frac{1}{4}\right)·Linha 1 (note o sinal do multiplicador): \begin{aligned} a_{32}' & = -6 -\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot 1 = -6 + \frac{1}{4} = -\frac{23}{4},\\[4pt] a_{33}' & = -1 -\left(-\frac{1}{4}\right)\cdot(-2) = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}. \end{aligned}
Depois desta etapa a matriz (após eliminar a coluna 1 abaixo do pivô) é
\begin{pmatrix} -8 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -\dfrac{11}{8} & \dfrac{31}{4}\\[6pt] 0 & -\dfrac{23}{4} & -\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}.
Os multiplicadores usados na primeira coluna (para a matriz corrente) são \dfrac{3}{8} e -\dfrac{1}{4} (estes serão guardados em L, levando em conta futuras trocas).]

Passo 5

Agora vamos para a coluna 2 (entre as linhas 2 e 3 restantes) e fazemos pivotação parcial: comparar |a_{22}'| e |a_{32}'|:
\left|-\dfrac{11}{8}\right|=\dfrac{11}{8}\approx1{,}375,\qquad \left|-\dfrac{23}{4}\right|=\dfrac{23}{4}=5{,}75.
O maior é \left|-\dfrac{23}{4}\right| (está na linha 3), portanto troco a linha 2 com a linha 3 (segunda troca). Lembre-se: quando se trocam linhas durante a eliminação, as linhas já preenchidas de L correspondentes às colunas anteriores também devem ser trocadas — eu vou explicar isso quando montar L.
Após a troca (linha 2 \leftrightarrow linha 3) a matriz fica:
\begin{pmatrix} -8 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -\dfrac{23}{4} & -\dfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & -\dfrac{11}{8} & \dfrac{31}{4} \end{pmatrix}.
Agora o pivô em a_{22} é -\dfrac{23}{4}.]

Passo 6

Eliminação na coluna 2 (abaixo de a_{22}):
Multiplicador
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{-\tfrac{11}{8}}{-\tfrac{23}{4}} = \left(-\frac{11}{8}\right)\cdot\left(-\frac{4}{23}\right)=\frac{11}{46}.
Aplicando Linha 3 := Linha 3 - m_{32}\cdot Linha 2, calculo a nova entrada a_{33}:
a_{33}''=\frac{31}{4}-\frac{11}{46}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{31}{4}+\frac{33}{92} = \frac{713}{92}+\frac{33}{92}=\frac{746}{92}=\frac{373}{46}.
Assim a matriz superior triangular final (após as eliminações com pivotação parcial) é
U=\begin{pmatrix} -8 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -\dfrac{23}{4} & -\dfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{373}{46} \end{pmatrix}.
Observações sobre as trocas: foram feitas 2 trocas de linha (primeiro 1 \leftrightarrow3, depois 2 \leftrightarrow3). O efeito líquido nas posições das linhas do sistema é que a ordem das linhas usada na eliminação final é a permutação [3,1,2] das linhas originais. A matriz de permutação correspondente é
P=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
pois PA é a matriz cujo primeiro linha é a linha 3 original, segunda linha é a linha 1 original e terceira é a linha 2 original.]

Passo 7

Construção da matriz L (matriz unitriangular inferior com os multiplicadores) explicada com cuidado:
  • Na etapa de eliminação com pivotação parcial eu usei os multiplicadores da primeira coluna (antes da segunda troca) m_{21}=\dfrac{3}{8} e m_{31}=-\dfrac{1}{4}. Depois que troquei linhas para trazer o maior pivô da segunda coluna, essas linhas já preenchidas de L têm de seguir a mesma permutação (isso garante consistência). Assim, após as trocas a coluna 1 de L tem, nas linhas 2 e 3 (na ordem final usada para o produto LU), os valores -\dfrac{1}{4} e \dfrac{3}{8} respectivamente.
  • Na segunda etapa, o multiplicador que eliminou a_{32} (na ordem final) foi m_{32}=\dfrac{11}{46}, que vai na posição (3,2) de L.
Portanto a matriz L fica
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] -\dfrac{1}{4} & 1 & 0\\[6pt] \dfrac{3}{8} & \dfrac{11}{46} & 1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (conceitual): com essas P,L,U vale PA=LU (pode-se multiplicar e conferir que LU reproduz PA — eu segui as regras de permutar linhas de L quando troquei linhas durante a eliminação).]

Passo 8

Cálculo do determinante de A.
Usando PA=LU, tomando determinantes:
\det(P)\det(A)=\det(L)\det(U).
  • \det(L)=1 porque L é triangular com diagonais iguais a 1.
  • \det(P)=(-1)^{s} onde s é o número de trocas de linhas. Fizemos s=2 trocas, portanto \det(P)=(-1)^2=1.
  • Logo \det(A)=\det(U).
O determinante de U é o produto dos elementos diagonais:
\det(U)=\left(-8\right)\cdot\left(-\frac{23}{4}\right)\cdot\left(\frac{373}{46}\right).
Faço as simplificações passo a passo:
(-8)\cdot\left(-\frac{23}{4}\right)=\frac{184}{4}=46, \qquad 46\cdot\frac{373}{46}=373.
Portanto
\det(A)=373.

Resposta

(a) Após a eliminação com pivotação parcial houve trocas de linhas (1↔3 e depois 2↔3) e a matriz triangular superior obtida é
U=\begin{pmatrix} -8 & 1 & -2\\[4pt] 0 & -\dfrac{23}{4} & -\dfrac{3}{2}\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{373}{46} \end{pmatrix}.
(b) A fatoração com pivotação é PA=LU com
P=\begin{pmatrix}0&0&1\\[4pt]1&0&0\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix},\qquad L=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]-\dfrac{1}{4}&1&0\\[6pt]\dfrac{3}{8}&\dfrac{11}{46}&1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}-8&1&-2\\[4pt]0&-\dfrac{23}{4}&-\dfrac{3}{2}\\[6pt]0&0&\dfrac{373}{46}\end{pmatrix}.
(c) \det(A)=373.]

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