(a) Resolva pelo método de Gauss-Jacobi X^{(0)}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right] e \varepsilon=0,05.
(b) Esse sist ema satisfaz o Critério das linhas?
(a) Resolver pelo método de Gauss–Jacobi, usando X^{(0)}=\displaystyle\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix} e tolerância \varepsilon=0,05.
(b) Verificar se o sistema satisfaz o Critério das linhas (ou seja, se cada linha é estritamente diagonalmente dominante).
Informações relevantes fornecidas:
A matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes estão implícitos nas equações acima.
O método a usar é o método iterativo de Gauss–Jacobi com o vetor inicial e a tolerância indicados.
A tolerância \varepsilon que usaremos é o critério \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon (norma do máximo valor absoluto das diferenças entre iterações) — explicarei e justificarei isso no próximo passo.]
Passo 2
Vou explicar o método de Gauss–Jacobi e o critério de parada, passo a passo, sem pular etapas.
Definição do método (conteúdo didático): dado um sistema A X = b, escrevemos cada equação isolando a incógnita na diagonal. Se a_{ii} é o elemento diagonal da linha i, a fórmula iterativa de Jacobi é
x_i^{(k)} é o valor aproximado da incógnita x_i na iteração k.
a_{ij} são os coeficientes da matriz A.
b_i é o termo independente da linha i.
A ideia é: para calcular x_i^{(k+1)} usamos somente os valores x_j^{(k)} da iteração anterior — por isso Jacobi é totalmente paralelo entre componentes.
Critério de parada (o que vou usar): uma escolha comum e simples é parar quando a norma infinita da diferença entre iterações sucessivas ficar menor que a tolerância:
Explico: \|\,\cdot\,\|_{\infty} mede a maior variação absoluta entre componentes; é fácil de calcular à mão e garante que todas as componentes mudaram pouco.
Observação sobre convergência: se a matriz A for estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou seja, |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| para toda linha i), então o método de Jacobi converge para a solução. Vou verificar esse critério na parte (b).
Passo 3
Transformar as equações para a forma iterativa de Jacobi: isolamos cada x_i dividindo pela diagonal.
Da primeira equação 10x_1 + x_2 - x_3 = 10 obtemos
x_1=\frac{1}{10}\bigl(10 - x_2 + x_3\bigr).
Da segunda x_1 + 10x_2 + x_3 = 12 obtemos
x_2=\frac{1}{10}\bigl(12 - x_1 - x_3\bigr).
Da terceira 2x_1 - x_2 + 10x_3 = 11 obtemos
x_3=\frac{1}{10}\bigl(11 - 2x_1 + x_2\bigr).
Portanto, a fórmula iterativa de Jacobi para este sistema é, para cada iteração k,
Vou calcular iterações começando de X^{(0)}=\displaystyle\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix} e usar o critério \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}<0,05.]
Agora 0,019<0,05, logo atingimos a tolerância e paramos. A iteração final usada foi k=3.]
Passo 7
Interpretação didática do resultado e verificação numérica rápida:
Significado: após três iterações a maior mudança entre duas iterações sucessivas ficou abaixo de 0,05; portanto tomamos X^{(3)} como aproximação pelo critério escolhido.
Valores numéricos finais (arredondando para 3 casas decimais onde já aparecem): x_1\approx1,003, x_2\approx0,999, x_3\approx1,001.
Vou agora responder (b) com o teste do Critério das linhas.
Passo 8
Verificação do Critério das linhas (dominância diagonal por linha). Para cada linha i checamos se |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
A matriz de coeficientes A tem linhas:
Linha 1: a_{11}=10, demais (a_{12}=1,\;a_{13}=-1). Soma dos módulos dos não diagonais: |1|+|-1|=1+1=2. Como 10>2, a linha 1 é estritamente diagonalmente dominante.
Linha 2: a_{22}=10, demais (a_{21}=1,\;a_{23}=1). Soma: |1|+|1|=2. Como 10>2, a linha 2 é estritamente diagonalmente dominante.
Linha 3: a_{33}=10, demais (a_{31}=2,\;a_{32}=-1). Soma: |2|+|-1|=2+1=3. Como 10>3, a linha 3 é estritamente diagonalmente dominante.
Portanto todas as linhas são estritamente diagonalmente dominantes, logo o sistema satisfaz o Critério das linhas. Isso também explica (teoricamente) por que o método de Jacobi convergiu no nosso cálculo.
Resposta
(a) X^{(3)}=\displaystyle\begin{bmatrix}1,003\\[2pt]0,999\\[2pt]1,001\end{bmatrix} (parou em k=3 porque \|X^{(3)}-X^{(2)}\|_{\infty}=0,019<0,05).
(b) Sim. O sistema é estritamente diagonalmente dominante por linhas, pois 10>2, 10>2 e 10>3 nas linhas 1, 2 e 3, respectivamente.]