Dado o sistema
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =10 \\\ x_{1}+10 x_{2}+x_{3} & =12 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+10 x_{3} & =11 \end{aligned}\right.
(a) Resolva pelo método de Gauss-Jacobi X^{(0)}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right] e \varepsilon=0,05.
(b) Esse sist ema satisfaz o Critério das linhas?

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{aligned} 10 x_{1}+x_{2}-x_{3} & =10,\\[4pt] x_{1}+10 x_{2}+x_{3} & =12,\\[4pt] 2 x_{1}-x_{2}+10 x_{3} & =11, \end{aligned}\right.
e pede duas coisas:
  1. (a) Resolver pelo método de Gauss–Jacobi, usando X^{(0)}=\displaystyle\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix} e tolerância \varepsilon=0,05.
  2. (b) Verificar se o sistema satisfaz o Critério das linhas (ou seja, se cada linha é estritamente diagonalmente dominante).
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes estão implícitos nas equações acima.
  • O método a usar é o método iterativo de Gauss–Jacobi com o vetor inicial e a tolerância indicados.
  • A tolerância \varepsilon que usaremos é o critério \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}<\varepsilon (norma do máximo valor absoluto das diferenças entre iterações) — explicarei e justificarei isso no próximo passo.]

Passo 2

Vou explicar o método de Gauss–Jacobi e o critério de parada, passo a passo, sem pular etapas.
Definição do método (conteúdo didático): dado um sistema A X = b, escrevemos cada equação isolando a incógnita na diagonal. Se a_{ii} é o elemento diagonal da linha i, a fórmula iterativa de Jacobi é
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i - \sum_{j\neq i} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr),
para i=1,\dots,n. Aqui:
  • x_i^{(k)} é o valor aproximado da incógnita x_i na iteração k.
  • a_{ij} são os coeficientes da matriz A.
  • b_i é o termo independente da linha i.
    A ideia é: para calcular x_i^{(k+1)} usamos somente os valores x_j^{(k)} da iteração anterior — por isso Jacobi é totalmente paralelo entre componentes.
Critério de parada (o que vou usar): uma escolha comum e simples é parar quando a norma infinita da diferença entre iterações sucessivas ficar menor que a tolerância:
\|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}=\max_i\bigl|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}\bigr|<\varepsilon.
Explico: \|\,\cdot\,\|_{\infty} mede a maior variação absoluta entre componentes; é fácil de calcular à mão e garante que todas as componentes mudaram pouco.
Observação sobre convergência: se a matriz A for estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou seja, |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}| para toda linha i), então o método de Jacobi converge para a solução. Vou verificar esse critério na parte (b).

Passo 3

Transformar as equações para a forma iterativa de Jacobi: isolamos cada x_i dividindo pela diagonal.
Da primeira equação 10x_1 + x_2 - x_3 = 10 obtemos
x_1=\frac{1}{10}\bigl(10 - x_2 + x_3\bigr).
Da segunda x_1 + 10x_2 + x_3 = 12 obtemos
x_2=\frac{1}{10}\bigl(12 - x_1 - x_3\bigr).
Da terceira 2x_1 - x_2 + 10x_3 = 11 obtemos
x_3=\frac{1}{10}\bigl(11 - 2x_1 + x_2\bigr).
Portanto, a fórmula iterativa de Jacobi para este sistema é, para cada iteração k,
\begin{aligned} x_1^{(k+1)}&=\frac{1}{10}\bigl(10 - x_2^{(k)} + x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_2^{(k+1)}&=\frac{1}{10}\bigl(12 - x_1^{(k)} - x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_3^{(k+1)}&=\frac{1}{10}\bigl(11 - 2x_1^{(k)} + x_2^{(k)}\bigr). \end{aligned}
Vou calcular iterações começando de X^{(0)}=\displaystyle\begin{bmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix} e usar o critério \|X^{(k+1)}-X^{(k)}\|_{\infty}<0,05.]

Passo 4

Cálculo da iteração k=0 k=1.
Usando X^{(0)}=(0,0,0)^\top nas fórmulas:
  • Para x_1^{(1)}:
x_1^{(1)}=\frac{1}{10}\bigl(10 - x_2^{(0)} + x_3^{(0)}\bigr)=\frac{1}{10}(10-0+0)=\frac{10}{10}=1.
  • Para x_2^{(1)}:
x_2^{(1)}=\frac{1}{10}\bigl(12 - x_1^{(0)} - x_3^{(0)}\bigr)=\frac{1}{10}(12-0-0)=\frac{12}{10}=1,2.
  • Para x_3^{(1)}:
x_3^{(1)}=\frac{1}{10}\bigl(11 - 2x_1^{(0)} + x_2^{(0)}\bigr)=\frac{1}{10}(11-0+0)=\frac{11}{10}=1,1.
Logo
X^{(1)}=\begin{bmatrix}1\\[2pt]1,2\\[2pt]1,1\end{bmatrix}.
Agora calculo a diferença \|X^{(1)}-X^{(0)}\|_{\infty}:
\|X^{(1)}-X^{(0)}\|_{\infty}=\max\{|1-0|,\;|1,2-0|,\;|1,1-0|\}=\max\{1,\;1,2,\;1,1\}=1,2.
Como 1,2>0,05, não paramos; continuamos.]

Passo 5

Cálculo da iteração k=1 k=2.
Usando X^{(1)}=(1,\;1,2,\;1,1)^\top:
  • x_1^{(2)}=\dfrac{1}{10}\bigl(10 - x_2^{(1)} + x_3^{(1)}\bigr)=\dfrac{1}{10}\bigl(10 - 1,2 + 1,1\bigr)=\dfrac{1}{10}(9,9)=0,99.
  • x_2^{(2)}=\dfrac{1}{10}\bigl(12 - x_1^{(1)} - x_3^{(1)}\bigr)=\dfrac{1}{10}\bigl(12 - 1 - 1,1\bigr)=\dfrac{1}{10}(9,9)=0,99.
  • x_3^{(2)}=\dfrac{1}{10}\bigl(11 - 2x_1^{(1)} + x_2^{(1)}\bigr)=\dfrac{1}{10}\bigl(11 - 2\cdot1 + 1,2\bigr)=\dfrac{1}{10}(11 -2 +1,2)=\dfrac{1}{10}(10,2)=1,02.
Logo
X^{(2)}=\begin{bmatrix}0,99\\[2pt]0,99\\[2pt]1,02\end{bmatrix}.
Diferença \|X^{(2)}-X^{(1)}\|_{\infty}:
\|X^{(2)}-X^{(1)}\|_{\infty}=\max\{|0,99-1|,\;|0,99-1,2|,\;|1,02-1,1|\}=\max\{0,01,\;0,21,\;0,08\}=0,21.
Como 0,21>0,05, ainda não chegamos à tolerância; prossigo.]

Passo 6

Cálculo da iteração k=2 k=3.
Usando X^{(2)}=(0,99,\;0,99,\;1,02)^\top:
  • x_1^{(3)}=\dfrac{1}{10}\bigl(10 - x_2^{(2)} + x_3^{(2)}\bigr)=\dfrac{1}{10}\bigl(10 - 0,99 + 1,02\bigr)=\dfrac{1}{10}(10,03)=1,003.
  • x_2^{(3)}=\dfrac{1}{10}\bigl(12 - x_1^{(2)} - x_3^{(2)}\bigr)=\dfrac{1}{10}\bigl(12 - 0,99 - 1,02\bigr)=\dfrac{1}{10}(9,99)=0,999.
  • x_3^{(3)}=\dfrac{1}{10}\bigl(11 - 2x_1^{(2)} + x_2^{(2)}\bigr)=\dfrac{1}{10}\bigl(11 - 2\cdot0,99 + 0,99\bigr)=\dfrac{1}{10}(11 -1,98 +0,99)=\dfrac{1}{10}(10,01)=1,001.
Logo
X^{(3)}=\begin{bmatrix}1,003\\[2pt]0,999\\[2pt]1,001\end{bmatrix}.
Diferença \|X^{(3)}-X^{(2)}\|_{\infty}:
\|X^{(3)}-X^{(2)}\|_{\infty}=\max\{|1,003-0,99|,\;|0,999-0,99|,\;|1,001-1,02|\}=\max\{0,013,\;0,009,\;0,019\}=0,019.
Agora 0,019<0,05, logo atingimos a tolerância e paramos. A iteração final usada foi k=3.]

Passo 7

Interpretação didática do resultado e verificação numérica rápida:
  • Significado: após três iterações a maior mudança entre duas iterações sucessivas ficou abaixo de 0,05; portanto tomamos X^{(3)} como aproximação pelo critério escolhido.
  • Valores numéricos finais (arredondando para 3 casas decimais onde já aparecem): x_1\approx1,003, x_2\approx0,999, x_3\approx1,001.
Vou agora responder (b) com o teste do Critério das linhas.

Passo 8

Verificação do Critério das linhas (dominância diagonal por linha). Para cada linha i checamos se |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
A matriz de coeficientes A tem linhas:
  • Linha 1: a_{11}=10, demais (a_{12}=1,\;a_{13}=-1). Soma dos módulos dos não diagonais: |1|+|-1|=1+1=2. Como 10>2, a linha 1 é estritamente diagonalmente dominante.
  • Linha 2: a_{22}=10, demais (a_{21}=1,\;a_{23}=1). Soma: |1|+|1|=2. Como 10>2, a linha 2 é estritamente diagonalmente dominante.
  • Linha 3: a_{33}=10, demais (a_{31}=2,\;a_{32}=-1). Soma: |2|+|-1|=2+1=3. Como 10>3, a linha 3 é estritamente diagonalmente dominante.
Portanto todas as linhas são estritamente diagonalmente dominantes, logo o sistema satisfaz o Critério das linhas. Isso também explica (teoricamente) por que o método de Jacobi convergiu no nosso cálculo.

Resposta

(a) X^{(3)}=\displaystyle\begin{bmatrix}1,003\\[2pt]0,999\\[2pt]1,001\end{bmatrix} (parou em k=3 porque \|X^{(3)}-X^{(2)}\|_{\infty}=0,019<0,05).
(b) Sim. O sistema é estritamente diagonalmente dominante por linhas, pois 10>2, 10>2 e 10>3 nas linhas 1, 2 e 3, respectivamente.]

Exercícios relacionados